é contínua em x=2, mas não é diferenciável.
Ensino Superior ⇒ Função contínua / diferenciável Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
iceman
- Mensagens: 317
- Registrado em: 28 Mai 2012, 14:04
- Última visita: 11-06-16
- Agradeceu: 234 vezes
- Agradeceram: 1 vez
Out 2014
19
15:02
Função contínua / diferenciável
Mostre que a função
=\begin{cases}2x+1\,\,\,\text{ , }\, x<2 \\ x^2-1\,\,\,\,\text{ , }\,x \geq 2\end{cases} "f(x)=\begin{cases}2x+1\,\,\,\text{ , }\, x<2 \\ x^2-1\,\,\,\,\text{ , }\,x \geq 2\end{cases}")
é contínua em x=2, mas não é diferenciável.
é contínua em x=2, mas não é diferenciável.
Editado pela última vez por iceman em 19 Out 2014, 15:02, em um total de 1 vez.
-
mateusITA
- Mensagens: 262
- Registrado em: 03 Out 2014, 18:29
- Última visita: 24-07-21
- Localização: Brasília
- Agradeceram: 193 vezes
Out 2014
19
22:11
Re: Função contínua / diferenciável
Olá, iceman.
Não há algum erro na questão, pois para uma função ser contínua em um ponto os seus limites laterais devem ser iguais para esse ponto. Isso não ocorreria para x=2.
Não há algum erro na questão, pois para uma função ser contínua em um ponto os seus limites laterais devem ser iguais para esse ponto. Isso não ocorreria para x=2.
-
iceman
- Mensagens: 317
- Registrado em: 28 Mai 2012, 14:04
- Última visita: 11-06-16
- Agradeceu: 234 vezes
- Agradeceram: 1 vez
Out 2014
19
22:15
Re: Função contínua / diferenciável
Aqui ta assim mesmo.mateusITA escreveu:Olá, iceman.
Não há algum erro na questão, pois para uma função ser contínua em um ponto os seus limites laterais devem ser iguais para esse ponto. Isso não ocorreria para x=2.
, mas não sei se está correta.
Poderia me mostrar outro exemplo com o calculo ? Obrigado
Editado pela última vez por iceman em 19 Out 2014, 22:15, em um total de 1 vez.
-
mateusITA
- Mensagens: 262
- Registrado em: 03 Out 2014, 18:29
- Última visita: 24-07-21
- Localização: Brasília
- Agradeceram: 193 vezes
Out 2014
20
13:18
Re: Função contínua / diferenciável
Condições de continuidade em um ponto x=[tex3]x_{0}[/tex3]
I) [tex3]\exists f(x_{0})[/tex3]
II) [tex3]\exists \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)[/tex3]
III) [tex3]\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})[/tex3]
Para a questão, teremos:
I) f(2)=3 (Existe)
II) Verificar se existe o limite no ponto x=2. Caso exista, os limites laterais pela esquerda e pela direita do ponto devem ser iguais. Caso contrário, não existe limite no ponto.
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)=5[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)=3[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)\neq\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)[/tex3] , então não existe limite no ponto x=2.
Isso caracteriza uma descontinuidade de 1ª espécie.
Verificando diferenciabilidade:
=\begin{cases}2\,\,\,\text{ , }\, x<2 \\ 2x\,\,\,\,\text{ , }\,x \geq 2\end{cases} "f'(x)=\begin{cases}2\,\,\,\text{ , }\, x<2 \\ 2x\,\,\,\,\text{ , }\,x \geq 2\end{cases}")
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f'(x)=2[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f'(x)=4[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f'(x)\neq\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f'(x)[/tex3] , então a função não é diferenciável em x=2, como o enunciado afirmava.
Isso me leva a crer que a função deveria ser:
=\begin{cases}2x+1\,\,\,\text{ , }\, x<2 \\ x^2+1\,\,\,\,\text{ , }\,x \geq 2\end{cases} "f(x)=\begin{cases}2x+1\,\,\,\text{ , }\, x<2 \\ x^2+1\,\,\,\,\text{ , }\,x \geq 2\end{cases}")
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)=5[/tex3] , então [tex3]\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=5[/tex3] que seria igual a f(2). A função seria contínua em x=2.
Ou:
=\begin{cases}2x-1\,\,\,\text{ , }\, x<2 \\ x^2-1\,\,\,\,\text{ , }\,x \geq 2\end{cases} "f(x)=\begin{cases}2x-1\,\,\,\text{ , }\, x<2 \\ x^2-1\,\,\,\,\text{ , }\,x \geq 2\end{cases}")
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)=3[/tex3] , então [tex3]\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=3[/tex3] que também seria igual a f(2). Assim, a função seria contínua em x=2. A análise da diferenciabilidade seria a mesma para a função do "enunciado".
I) [tex3]\exists f(x_{0})[/tex3]
II) [tex3]\exists \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)[/tex3]
III) [tex3]\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})[/tex3]
Para a questão, teremos:
I) f(2)=3 (Existe)
II) Verificar se existe o limite no ponto x=2. Caso exista, os limites laterais pela esquerda e pela direita do ponto devem ser iguais. Caso contrário, não existe limite no ponto.
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)=5[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)=3[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)\neq\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)[/tex3] , então não existe limite no ponto x=2.
Isso caracteriza uma descontinuidade de 1ª espécie.
Verificando diferenciabilidade:
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f'(x)=2[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f'(x)=4[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f'(x)\neq\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f'(x)[/tex3] , então a função não é diferenciável em x=2, como o enunciado afirmava.
Isso me leva a crer que a função deveria ser:
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)=5[/tex3] , então [tex3]\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=5[/tex3] que seria igual a f(2). A função seria contínua em x=2.
Ou:
[tex3]\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)=3[/tex3] , então [tex3]\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=3[/tex3] que também seria igual a f(2). Assim, a função seria contínua em x=2. A análise da diferenciabilidade seria a mesma para a função do "enunciado".
Editado pela última vez por mateusITA em 20 Out 2014, 13:18, em um total de 1 vez.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última mensagem
-
- 1 Respostas
- 672 Exibições
-
Última mensagem por undefinied3
-
- 0 Respostas
- 700 Exibições
-
Última mensagem por FilipeDLQ
-
- 14 Respostas
- 1844 Exibições
-
Última mensagem por Cardoso1979
-
- 1 Respostas
- 371 Exibições
-
Última mensagem por AnthonyC
-
- 1 Respostas
- 466 Exibições
-
Última mensagem por Cardoso1979
