Ensino Médio ⇒ Relação entre Raízes
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wms2014
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Ago 2014
12
21:51
Relação entre Raízes
Dado [tex3]a\neq0[/tex3]
, sabendo que as raízes da equação [tex3]ax^{2}+kx+c=0[/tex3]
são o seno e cosseno de um ângulo [tex3]\alpha[/tex3]
e que as raízes da equação [tex3]ax^{2}+px+c=0[/tex3]
são o seno e o cosseno de um ângulo [tex3]\theta[/tex3]
, determine o valor da expressão [tex3]E=cos^{2}(2\alpha )-cos^{2}(2\theta )[/tex3]
para [tex3]k\neq p[/tex3]
.
Editado pela última vez por wms2014 em 12 Ago 2014, 21:51, em um total de 1 vez.
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VALDECIRTOZZI
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Ago 2014
13
09:17
Re: Relação entre Raízes
Temos que:
[tex3]ax^2+kx+c=0[/tex3]
[tex3]x_1+x_2=-\frac{k}{a}[/tex3]
[tex3]\sen\alpha +\cos\alpha =-\frac{k}{a}[/tex3] [tex3](I)[/tex3]
[tex3]x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}[/tex3]
[tex3]\sen\alpha \cdot \cos\alpha =\frac{c}{a}[/tex3] [tex3](II)[/tex3]
Elevando [tex3]I[/tex3] ao quadrado:
[tex3]\left(\sen\alpha +\cos\alpha \right)^2=\left(-\frac{k}{a}\right)^2[/tex3]
[tex3]\sen^2\alpha +2\cdot \sen\alpha \cdot \cos\alpha +\cos^2\alpha =\frac{k^2}{a^2}[/tex3]
[tex3]1+2\cdot \sen\alpha \cdot \cos\alpha=\frac{k^2}{a^2}[/tex3]
[tex3]\sen2\alpha =\frac{k^2}{a^2}-1=\frac{k^2-a^2}{a^2}[/tex3] [tex3](III)[/tex3]
Agora, sabemos que:
[tex3]\sen^22\alpha +\cos^22\alpha =1[/tex3]
[tex3]\cos^22\alpha =1-\sen^22\alpha[/tex3]
[tex3]\cos^22\alpha =1-\left(\frac{k^2-a^2}{a^2}\right)^2[/tex3]
[tex3]\cos^22\alpha =1-\frac{k^4-2k^2a^2+a^4}{a^4}[/tex3]
[tex3]\cos^22\alpha =\frac{a^4-k^4+2k^2a^2-a^4}{a^4}=\frac{2k^2a^2-k^4}{a^4}[/tex3]
De modo análogo:
[tex3]ax^2+px+c=0[/tex3]
[tex3]x_1+x_2=-\frac{p}{a}[/tex3]
[tex3]\sen\theta +\cos\theta =-\frac{p}{a}[/tex3] [tex3](IV)[/tex3]
[tex3]x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}[/tex3]
[tex3]\sen\theta \cdot \cos\theta =\frac{c}{a}[/tex3] [tex3](V)[/tex3]
Elevando [tex3]IV[/tex3] ao quadrado:
[tex3]\left(\sen\theta +\cos\theta \right)^2=\left(-\frac{p}{a}\right)^2[/tex3]
[tex3]\sen^2\theta +2\cdot \sen\theta \cdot \cos\theta +\cos^2\theta =\frac{p^2}{a^2}[/tex3]
[tex3]1+2\cdot \sen\theta \cdot \cos\theta =\frac{p^2}{a^2}[/tex3]
[tex3]\sen2\theta =\frac{p^2}{a^2}-1=\frac{p^2-a^2}{a^2}[/tex3] [tex3](VI)[/tex3]
Agora, sabemos que:
[tex3]\sen^22\theta +\cos^22\theta =1[/tex3]
[tex3]\cos^22\theta =1-\sen^22\theta[/tex3]
[tex3]\cos^22\theta =1-\left(\frac{p2-a^2}{a^2}\right)^2[/tex3]
[tex3]\cos^22\theta =1-\frac{p^4-2p^2a^2+a^4}{a^4}[/tex3]
[tex3]\cos^22\theta =\frac{a^4-p^4+2p^2a^2-a^4}{a^4}=\frac{2p^2a^2-p^4}{a^4}[/tex3]
[tex3]E=\cos^22\alpha -\cos^22\theta=[/tex3]
[tex3]E=\frac{2k^2a^2-k^4}{a^4}-\frac{2p^2a^2-p^4}{a^4}=\frac{2k^2a^2-2p^2a^2-k^4+p^4}{a^4}[/tex3]
[tex3]E=\frac{2a^2\left(k^2-p^2\right)-k^4+p^4}{a^4}[/tex3]
Não sei se esta é a resposta correta ou é possível mais alguma simplificação, mas creio que deu alguma luz na solução.
Espero ter ajudado!
[tex3]ax^2+kx+c=0[/tex3]
[tex3]x_1+x_2=-\frac{k}{a}[/tex3]
[tex3]\sen\alpha +\cos\alpha =-\frac{k}{a}[/tex3] [tex3](I)[/tex3]
[tex3]x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}[/tex3]
[tex3]\sen\alpha \cdot \cos\alpha =\frac{c}{a}[/tex3] [tex3](II)[/tex3]
Elevando [tex3]I[/tex3] ao quadrado:
[tex3]\left(\sen\alpha +\cos\alpha \right)^2=\left(-\frac{k}{a}\right)^2[/tex3]
[tex3]\sen^2\alpha +2\cdot \sen\alpha \cdot \cos\alpha +\cos^2\alpha =\frac{k^2}{a^2}[/tex3]
[tex3]1+2\cdot \sen\alpha \cdot \cos\alpha=\frac{k^2}{a^2}[/tex3]
[tex3]\sen2\alpha =\frac{k^2}{a^2}-1=\frac{k^2-a^2}{a^2}[/tex3] [tex3](III)[/tex3]
Agora, sabemos que:
[tex3]\sen^22\alpha +\cos^22\alpha =1[/tex3]
[tex3]\cos^22\alpha =1-\sen^22\alpha[/tex3]
[tex3]\cos^22\alpha =1-\left(\frac{k^2-a^2}{a^2}\right)^2[/tex3]
[tex3]\cos^22\alpha =1-\frac{k^4-2k^2a^2+a^4}{a^4}[/tex3]
[tex3]\cos^22\alpha =\frac{a^4-k^4+2k^2a^2-a^4}{a^4}=\frac{2k^2a^2-k^4}{a^4}[/tex3]
De modo análogo:
[tex3]ax^2+px+c=0[/tex3]
[tex3]x_1+x_2=-\frac{p}{a}[/tex3]
[tex3]\sen\theta +\cos\theta =-\frac{p}{a}[/tex3] [tex3](IV)[/tex3]
[tex3]x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}[/tex3]
[tex3]\sen\theta \cdot \cos\theta =\frac{c}{a}[/tex3] [tex3](V)[/tex3]
Elevando [tex3]IV[/tex3] ao quadrado:
[tex3]\left(\sen\theta +\cos\theta \right)^2=\left(-\frac{p}{a}\right)^2[/tex3]
[tex3]\sen^2\theta +2\cdot \sen\theta \cdot \cos\theta +\cos^2\theta =\frac{p^2}{a^2}[/tex3]
[tex3]1+2\cdot \sen\theta \cdot \cos\theta =\frac{p^2}{a^2}[/tex3]
[tex3]\sen2\theta =\frac{p^2}{a^2}-1=\frac{p^2-a^2}{a^2}[/tex3] [tex3](VI)[/tex3]
Agora, sabemos que:
[tex3]\sen^22\theta +\cos^22\theta =1[/tex3]
[tex3]\cos^22\theta =1-\sen^22\theta[/tex3]
[tex3]\cos^22\theta =1-\left(\frac{p2-a^2}{a^2}\right)^2[/tex3]
[tex3]\cos^22\theta =1-\frac{p^4-2p^2a^2+a^4}{a^4}[/tex3]
[tex3]\cos^22\theta =\frac{a^4-p^4+2p^2a^2-a^4}{a^4}=\frac{2p^2a^2-p^4}{a^4}[/tex3]
[tex3]E=\cos^22\alpha -\cos^22\theta=[/tex3]
[tex3]E=\frac{2k^2a^2-k^4}{a^4}-\frac{2p^2a^2-p^4}{a^4}=\frac{2k^2a^2-2p^2a^2-k^4+p^4}{a^4}[/tex3]
[tex3]E=\frac{2a^2\left(k^2-p^2\right)-k^4+p^4}{a^4}[/tex3]
Não sei se esta é a resposta correta ou é possível mais alguma simplificação, mas creio que deu alguma luz na solução.
Espero ter ajudado!
Editado pela última vez por caju em 18 Mai 2024, 15:16, em um total de 3 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
So many problems, so little time!
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wms2014
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Ago 2014
13
12:17
Re: Relação entre Raízes
Ela é meio cabulosa mesmo, mas se eu estiver certo, depende da utilização de produtos notáveis junto com as propriedades trigonométricas. Vamos ver, se alguém encontrar algum erro me avise por favor:
Se [tex3]sin(u) e cos(u)[/tex3] são as raízes de uma equação do tipo [tex3]ax^{2}+bx+c=0[/tex3] então teremos:
[tex3]x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}[/tex3]
Temos que [tex3]cos^{2}(2u)=(cos^{2}(u)-sen^{2}(u))^{2}=cos^{4}(u)+sen^{4}(u)-2cos^{2}(u)\cdot sen^{2}(u)[/tex3]
[tex3]=(cos^{2}(u)+sen^{2}(u))^{2}-2cos^{2}(u)\cdot sen^{2}(u)-2cos^{2}(u)\cdot sen^{2}(u)[/tex3]
[tex3]=(cos^{2}(u)+sen^{2}(u))^{2}-4cos^{2}(u)\cdot sen^{2}(u)=1-(2sen(u)\cdot cos(u))^{2}=1-(\frac{2c}{a})^{2}[/tex3]
Logo se [tex3]sen(u)[/tex3] e [tex3]cos(u)[/tex3] são as raízes de uma equação do tipo [tex3]ax^{2}+bx+c=0[/tex3] então o valor de [tex3]cos(2u))^{2}[/tex3] não depende de b e portanto:
[tex3]cos^{2}(\alpha )-cos^{2}(\theta )=(1-(\frac{2c}{a})^{2})-(1-(\frac{2c}{a})^{2})=0[/tex3]
Só fiquei na dúvida se é possivel nas condições do enunciado termos [tex3]k\neq p[/tex3] . Se não é possível então se trata de um problema com falhas de elaboração. Alguém tem alguma idéia?
Se [tex3]sin(u) e cos(u)[/tex3] são as raízes de uma equação do tipo [tex3]ax^{2}+bx+c=0[/tex3] então teremos:
[tex3]x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}[/tex3]
Temos que [tex3]cos^{2}(2u)=(cos^{2}(u)-sen^{2}(u))^{2}=cos^{4}(u)+sen^{4}(u)-2cos^{2}(u)\cdot sen^{2}(u)[/tex3]
[tex3]=(cos^{2}(u)+sen^{2}(u))^{2}-2cos^{2}(u)\cdot sen^{2}(u)-2cos^{2}(u)\cdot sen^{2}(u)[/tex3]
[tex3]=(cos^{2}(u)+sen^{2}(u))^{2}-4cos^{2}(u)\cdot sen^{2}(u)=1-(2sen(u)\cdot cos(u))^{2}=1-(\frac{2c}{a})^{2}[/tex3]
Logo se [tex3]sen(u)[/tex3] e [tex3]cos(u)[/tex3] são as raízes de uma equação do tipo [tex3]ax^{2}+bx+c=0[/tex3] então o valor de [tex3]cos(2u))^{2}[/tex3] não depende de b e portanto:
[tex3]cos^{2}(\alpha )-cos^{2}(\theta )=(1-(\frac{2c}{a})^{2})-(1-(\frac{2c}{a})^{2})=0[/tex3]
Só fiquei na dúvida se é possivel nas condições do enunciado termos [tex3]k\neq p[/tex3] . Se não é possível então se trata de um problema com falhas de elaboração. Alguém tem alguma idéia?
Editado pela última vez por wms2014 em 13 Ago 2014, 12:17, em um total de 1 vez.
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