Física I

Willian1996 · 15 Mar 2016, 05:31

Um móvel percorreu a metade da distância com a velocidade [tex3]v_{1}[/tex3] . A primeira metade do tempo
restante percorreu com a velocidade [tex3]v_{2}[/tex3] e na segunda metade com a velocidade [tex3]v_{3}[/tex3] (o tempo gasto
em percorrer a 1ª e a 2ª metade, são iguais). Determinar a velocidade média em todo o percurso.

Resposta: [tex3]v_{m} = \frac{2v_{1} (v_{2}+v_{3})}{2v_{1}+v_{2}+v_{3}}[/tex3]

15 Mar 2016, 12:50

Para facilitar, chamemos o deslocamento total de $d$ e o tempo total do percurso de $t$ .
Daí: $v_M=\frac{d}{t}$

Pelas informações do problema, podemos escrever:
$v_1=\frac{d_1}{t_1}$ que representa a velocidade quando o móvel se deslocou na primeira metade do percurso.
$v_2=\frac{d_2}{t_2}$ que representa a velocidade quando o móvel se deslocou na primeira metade do tempo da segunda parte do percurso.
$v_3=\frac{d_3}{t_3}$ que representa a velocidade quando o móvel se deslocou nana segunda metade do tempo na segunda parte do percurso.

Sabemos também que; $d_2+d+3=d_1$
Então:
$v_2 t_2+v_3 t_3=v_1 t_1 \,\,\,\,\, (I)$

Sabemos também que: $t_2=t_3=\frac{t-t_1}{2}$
$v_2t+v_3t=2v_1t_1+v_2t_1+v_3t_1$

Substituindo esse resultado em I:
$v_2 \cdot \left(\frac{t-t_1}{2}\right)+v_3 \cdot \left(\frac{t-t_1}{2}\right)=v_1 t_1$
$v_2t-v_2t_1+v_3t-v_3t_1=2v_1t_1$
$t\cdot \left(v_2+v_3\right)=2v_1t_1+v_2t_1+v_3t_1$
$t\cdot \left(v_2+v_3\right)=t_1 \cdot \left(2v_1+v_2+v_2\right)$
$\frac{t_1}{t}=\frac{v_2+v_3}{2v_1+v_2+v_3} \,\,\,\,\,\, (II)$

Por outro lado temos que:
$t_1=\frac{d_1}{v_1}=\frac{d}{2v_1} \,\,\,\,\, (III)$
e
$t=\frac{d}{v_M}\,\,\,\,\,\, (IV)$

Substituindo III e IV em II:
$\frac{\frac{d}{2v_1}}{\frac{d}{v_M}}=\frac{v_2+v_3}{2v_1+v_2+v_3}$
$\frac{\cancel{d}}{2v_1}\cdot \frac{v_M}{\cancel{d}}=\frac{v_2+v_3}{2v_1+v_2+v_3}$
$v_M=\frac{2v_1 \left(v_2+v_3\right)}{2v_1+v_2+v_3}$

Espero ter ajudado!

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