Uma massa pontual m desliza sem atrito sobre uma mesa horizontal na extremidade de uma mola de massa desprezível com comprimento natural A e constante de mola k, como mostra na figura abaixo. A mola é presa na mesa de modo a girar livremente sem atrito. A força líquida sobre a massa é a força central F(r) = - k(r - a).
Figura segue em anexo
a) Determine e desenhe a energia potencial U(r) e o potencial efetivo Ueff(r).
b)Qual velocidade angular v0 é necessária para uma órbita circular de raio r0?
Física I ⇒ (UFPI - 2023) Oscilações
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quantumboy
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Fev 2024
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Re: (UFPI - 2023) Oscilações
quantumboy,
a) A energia potencial é [tex3]U(r)=\frac{k(r-a)^2}{2},[/tex3] pois [tex3]r-a[/tex3] é a elongação da mola.
O desenho é simplesmente uma parábola côncava para cima, com vértice em [tex3]x=a, \; \; y=0[/tex3] no plano (x,y).
O potencial efetivo é [tex3]U_e(r)=\frac{L^2}{2mr^2}+U(r)=\frac{L^2}{2mr^2}+\frac{k(r-a)^2}{2},[/tex3] onde L é o momento angular da partícula.
Um desenho típico de [tex3]U_e(r):[/tex3]
Os aspectos importantes do desenho são que [tex3]U \rightarrow \infty[/tex3]
para [tex3]r \rightarrow 0[/tex3]
ou [tex3]r \rightarrow \infty,[/tex3]
e que o ponto de equilíbrio (ponto mais baixo do gráfico) é diferente de [tex3]r=a,[/tex3]
sendo deslocado para um [tex3]r[/tex3]
maior.
b) Derivando o potencial efetivo:
[tex3]U_e'(r)=-\frac{L^2}{mr^3}+k(r-a).[/tex3]
Um ponto de equilíbrio de [tex3]r[/tex3] corresponde a um extremo do potencial efetivo, então devemos ter [tex3]k(r_0-a)=\frac{L^2}{mr_0^3}.[/tex3]
Substituindo [tex3]L=mv_0 r_0:[/tex3]
[tex3]k(r_0-a)=\frac{mv_0^2}{r_0} \Longrightarrow \boxed{v_0=\sqrt{\frac{kr_0(r_0-a)}{m}}}[/tex3]
a) A energia potencial é [tex3]U(r)=\frac{k(r-a)^2}{2},[/tex3] pois [tex3]r-a[/tex3] é a elongação da mola.
O desenho é simplesmente uma parábola côncava para cima, com vértice em [tex3]x=a, \; \; y=0[/tex3] no plano (x,y).
O potencial efetivo é [tex3]U_e(r)=\frac{L^2}{2mr^2}+U(r)=\frac{L^2}{2mr^2}+\frac{k(r-a)^2}{2},[/tex3] onde L é o momento angular da partícula.
Um desenho típico de [tex3]U_e(r):[/tex3]
- 084e12d5-ff6d-498b-9ce7-0ca5d22c7504.jpg (49.51 KiB) Exibido 259 vezes
b) Derivando o potencial efetivo:
[tex3]U_e'(r)=-\frac{L^2}{mr^3}+k(r-a).[/tex3]
Um ponto de equilíbrio de [tex3]r[/tex3] corresponde a um extremo do potencial efetivo, então devemos ter [tex3]k(r_0-a)=\frac{L^2}{mr_0^3}.[/tex3]
Substituindo [tex3]L=mv_0 r_0:[/tex3]
[tex3]k(r_0-a)=\frac{mv_0^2}{r_0} \Longrightarrow \boxed{v_0=\sqrt{\frac{kr_0(r_0-a)}{m}}}[/tex3]
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