Física I ⇒ (UFPI - 2023) Gravitação

[quantumboy]

Um satélite é lançado em orbita sob as seguintes condições: Quando todo o combustível tiver sido consumido, o satélite estará a 643 km da superfície da terra e terá uma velocidade de 9144 m/s perpendicular à distância do perigeu. Qual é a excentricidade da orbita? Calcule também a distância do apogeu.

[παθμ]

quantumboy, acho que o enunciado quis dizer que, no perigeu, o satélite está a 643 km da superfície da Terra e com velocidade de 9144 m/s perpendicular ao seu vetor posição relativo ao centro da Terra (estou destacando isso porque "perpendicular à distância do perigeu" ficou estranho).

Então [tex3]r_p=7014 \; \text{km}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_p=7014 \; \text{km}[/tex3]

(posição do perigeu).

A energia mecânica da órbita é [tex3]E=-\frac{GMm}{r_p}+\frac{mv^2}{2}=-\frac{GMm}{2a} \Longrightarrow a=\left(\frac{2}{r_p}-\frac{v^2}{GM}\right)^{-1},[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]E=-\frac{GMm}{r_p}+\frac{mv^2}{2}=-\frac{GMm}{2a} \Longrightarrow a=\left(\frac{2}{r_p}-\frac{v^2}{GM}\right)^{-1},[/tex3]

onde [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

é o semi-eixo maior.

Plugando os valores numéricos, obtemos [tex3]a \approx 13270 \; \text{km}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a \approx 13270 \; \text{km}.[/tex3]

Sendo [tex3]r_a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_a[/tex3]

a distância do apogeu ao centro da Terra:

[tex3]r_p+r_a=2a \Longrightarrow \boxed{r_a \approx 19524 \; \text{km}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_p+r_a=2a \Longrightarrow \boxed{r_a \approx 19524 \; \text{km}}[/tex3]

Além disso, a semi-distância focal da elipse é [tex3]c=a-r_p.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c=a-r_p.[/tex3]

A excentricidade da órbita é [tex3]\epsilon = \frac{c}{a}=1-\frac{r_p}{a} \approx \boxed{0,47}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\epsilon = \frac{c}{a}=1-\frac{r_p}{a} \approx \boxed{0,47}[/tex3]