Solução:
a) Como não há dissipação de energia no sistema, tampouco energia potencial, a massa permanece com energia cinética constante e velocidade constante [tex3]v=\frac{I_0}{m}.[/tex3]
Um esboço da trajetória da massa à medida que a corda se desenrola:
- b5d1722a-5ce3-4261-9f42-5b42d9f057af.jpg (20.67 KiB) Exibido 217 vezes
b) Como os pontos da corda que estão em contato com o cilindro estão parados, a velocidade da partícula deve ser perpendicular à parte esticada da corda, pela conservação do comprimento. Além disso, sendo [tex3]\theta[/tex3]
o ângulo de desenrolamento da corda, o ângulo entre a velocidade e a vertical também é [tex3]\theta:[/tex3]
- 7cb91e3f-ce2a-40b8-98f7-9426c7f54120.jpg (10.36 KiB) Exibido 217 vezes
Desse modo, pelo movimento circular instantâneo da massa em torno do último ponto da corda em contato com o cilindro, temos [tex3]v= s \frac{d \theta}{dt},[/tex3]
sendo [tex3]s=R \theta[/tex3]
o comprimento da parte esticada.
[tex3]\int_{0}^{\theta} \theta \; d\theta = \frac{v}{R} \int_{0}^{t} dt \Longrightarrow \theta(t)=\sqrt{\frac{2vt}{R}} \Longrightarrow \boxed{s(t)=\sqrt{\frac{2RI_0 t}{m}}}[/tex3]
c) A velocidade da partícula é [tex3]\vec{v}=v \sin(\theta) \hat{x}+v \cos(\theta) \hat{y},[/tex3]
e sua posição é [tex3]x=R \sin(\theta) - s\cos(\theta), \; \; y=R \cos(\theta)+ s \sin(\theta).[/tex3]
Momento angular: [tex3]\vec{L}=m \vec{r} \times \vec{v}=mv\left((R \sin(\theta)-s \cos(\theta))\hat{x}+(R \cos(\theta)+ s \sin(\theta))\hat{y}\right) \times (\sin(\theta)\hat{x}+\cos(\theta)\hat{y})[/tex3]
Usando [tex3]\hat{x} \times \hat{y}= \hat{z}:[/tex3]
(onde o eixo "z" aponta para fora da página)
[tex3]\vec{L}=-mv\left(R \sin(\theta) \cos(\theta)+s \sin^2(\theta)-R \sin(\theta)\cos(\theta)+s \cos^2(\theta)\right) \hat{z}=-I_0s \; \hat{z}.[/tex3]
[tex3]\boxed{\vec{L}(t)=-\sqrt{\frac{2R I_0^3 t}{m}}\hat{z}}[/tex3]
