Ensino Superior ⇒ Cálculo 1

[raizinha]

Seja [tex3]R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R[/tex3]

a região localizada entre as curvas [tex3]y=\frac{1}{x}[/tex3]

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[tex3]y=\frac{1}{x}[/tex3]

e [tex3]y=\frac{1}{x^3}[/tex3]

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[tex3]y=\frac{1}{x^3}[/tex3]

, para [tex3]x \geq 1 [/tex3]

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[tex3]x \geq 1 [/tex3]

. Seja [tex3]V[/tex3]

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[tex3]V[/tex3]

o volume do sólido obtido após a rotação da região [tex3]R[/tex3]

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[tex3]R[/tex3]

ao redor de [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

. Se [tex3]V=\frac{\beta\pi}{5}[/tex3]

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[tex3]V=\frac{\beta\pi}{5}[/tex3]

, determine o valor de [tex3]\beta[/tex3]

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[tex3]\beta[/tex3]

.

[rcompany]

[tex3]

\text{Seja }t>1\\

V(t)=\pi\int_1^t(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^6})\mathrm{d}x=\pi\left[\frac{1}{5x^5}-\frac{1}{x}\right]_1^t=\pi\left[\frac{1-5x^4}{5x^5}\right]_1^t=\pi\left(\frac{1-5t^4}{5t^5}+\frac{4}{5}\right)\\
V=\lim\limits_{t\to+\infty}V(t)=\lim\limits_{t\to+\infty}\pi\left(\frac{1-5t^4}{5t^5}+\frac{4}{5}\right)=\frac{4\pi}{5}\\
\therefore \beta=4
[/tex3]

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[tex3]

\text{Seja }t>1\\

V(t)=\pi\int_1^t(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^6})\mathrm{d}x=\pi\left[\frac{1}{5x^5}-\frac{1}{x}\right]_1^t=\pi\left[\frac{1-5x^4}{5x^5}\right]_1^t=\pi\left(\frac{1-5t^4}{5t^5}+\frac{4}{5}\right)\\
V=\lim\limits_{t\to+\infty}V(t)=\lim\limits_{t\to+\infty}\pi\left(\frac{1-5t^4}{5t^5}+\frac{4}{5}\right)=\frac{4\pi}{5}\\
\therefore \beta=4
[/tex3]