Ensino Superior ⇒ Divisão harmônica pelos pés das bissetrizes( teorema recíproco ?) Tópico resolvido
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Abr 2021
24
06:50
Divisão harmônica pelos pés das bissetrizes( teorema recíproco ?)
Pessoal , aprendi no livro Geometria II do Morgado, que os pés da bissetrizes internas e externas que partem de um mesmo vértice. Dividem harmonicamente o lado oposto na mesma razão dos lados adjacente.
Agora , o que eu queria saber era se existe o teorema recíproco , ou seja se eu tiver somente aquele triângulo ABD' e afirmar que D e D' dividem AC harmonicamente , então, necessariamente , posso afirmar que D E D' são pés de bissetrizes?
Posso favor , a quem poder me ajudar no esclarecimento desta dúvida , obrigado desde já.
Agora , o que eu queria saber era se existe o teorema recíproco , ou seja se eu tiver somente aquele triângulo ABD' e afirmar que D e D' dividem AC harmonicamente , então, necessariamente , posso afirmar que D E D' são pés de bissetrizes?
Posso favor , a quem poder me ajudar no esclarecimento desta dúvida , obrigado desde já.
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Abr 2021
24
09:14
Re: Divisão harmônica pelos pés das bissetrizes( teorema recíproco ?)
Acredito que não seria o suficiente para isso acontecer, no entanto, se [tex3]\angle DAD'=90°[/tex3]
, AD é bissetriz do [tex3]\angle BAC[/tex3]
(dá pra provar usando lei dos senos)
Editado pela última vez por NigrumCibum em 24 Abr 2021, 09:16, em um total de 1 vez.
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Abr 2021
24
10:59
Re: Divisão harmônica pelos pés das bissetrizes( teorema recíproco ?)
sim, desde que você saiba de antemão que [tex3]\angle DAD' = 90^{\circ}[/tex3]
Se houver conjugados harmônicos e o ângulo reto, então com certeza há as bissetrizes.
A prova é bem simples. Tá aqui: viewtopic.php?p=259710#p259710
.No meu livrinho que sairá em breve eu provo isso.Se houver conjugados harmônicos e o ângulo reto, então com certeza há as bissetrizes.
A prova é bem simples. Tá aqui: viewtopic.php?p=259710#p259710
Editado pela última vez por FelipeMartin em 24 Abr 2021, 11:37, em um total de 2 vezes.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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Jun 2021
02
13:19
Re: Divisão harmônica pelos pés das bissetrizes( teorema recíproco ?)
Outra forma de provar isso :
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Jun 2021
02
14:01
Re: Divisão harmônica pelos pés das bissetrizes( teorema recíproco ?)
geobson, no livro EGMO também tem essa prova, mas não gosto muito dela.
Editado pela última vez por NigrumCibum em 02 Jun 2021, 14:02, em um total de 1 vez.
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Jun 2021
02
14:04
Re: Divisão harmônica pelos pés das bissetrizes( teorema recíproco ?)
NigrumCibum, quem é o autor e editora desse livro?
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Jun 2021
02
14:06
Re: Divisão harmônica pelos pés das bissetrizes( teorema recíproco ?)
geobson,
O livro é Eucliden Geometry in Mathematical Olympiads do Evan Chen.
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Jun 2021
20
01:28
Re: Divisão harmônica pelos pés das bissetrizes( teorema recíproco ?)
NigrumCibum, legal mesmo é essa demonstração retirada do livro ( livro que recomendo e pelo qual estou me aprofundando em conhecimentos sobre inversão , homoteita e projetiva)Introdução à Geometria plana Avançada de João Vitor de Almeida Gonçalves, vulgo Felipe Martins , como é conhecido aqui no fórum.
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Editado pela última vez por geobson em 20 Jun 2021, 01:48, em um total de 4 vezes.
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