Ensino Superior ⇒ Volume com integral dupla Tópico resolvido

[vh141201]

Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies [tex3]z = 1−y^{2}, x+z=2 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z = 1−y^{2}, x+z=2 [/tex3]

e [tex3]x= 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x= 2[/tex3]

para [tex3]z≥0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z≥0[/tex3]

.

Resposta

---

8/15

Tentei pensar assim:

vol.PNG (112.45 KiB) Exibido 570 vezes

Como esse é o volume procurado eu posso falar que a função a ser integrada é a função em vermelho, sendo ela limitada pelos outros 2 planos. Vendo isso no plano cartesiano pra encontrar o domínio:

dom.PNG (18.08 KiB) Exibido 570 vezes

Ai é a área em vermelho. Então tentei fazer a integral da função 3D vermelha ([tex3]f(x,y)= 1−y^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x,y)= 1−y^{2}[/tex3]

) usando como domínio a imagem anterior, ou seja,

[tex3]\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{y^{2}+1}^{2}(1-y^{2})dxdy[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{y^{2}+1}^{2}(1-y^{2})dxdy[/tex3]

porém isso resulta no valor 16/15, queria saber o que fiz de errado.
[tex3][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][/tex3]

[Cardoso1979]

vh141201, o seu equívoco foi nos limites de integração do z , na realidade ele é dado por

2 - x ≤ z ≤ 1 - y² e não 0 ≤ z ≤ 1 - y² ( você verifica isso facilmente analisando o gráfico postado por você )

Assim,

[tex3]\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{y^{2}+1}^{2}(1-y^{2} - 2+x)dxdy[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{y^{2}+1}^{2}(1-y^{2} - 2+x)dxdy[/tex3]

Logo,

[tex3]\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{y^{2}+1}^{2}(x-y^{2} - 1 ) \ dxdy = \frac{8}{15} \ u.v.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{y^{2}+1}^{2}(x-y^{2} - 1 ) \ dxdy = \frac{8}{15} \ u.v.[/tex3]

Excelente estudo!