Observe
Uma solução:
É um tipo de questão que o aluno tem que estar com bastante habilidade , afinado , craque , familiarizado e ter um "olho clínico" em se tratando de
fatoração de expressões algébricas , além disso ter em mãos as propriedades , corolários , teoremas e proposições relacionado ao mdc.( Espero que o seu professor tenha lecionado sobre isso , caso contrário ficará a cargo do leitor para pesquisar
). Então , vamos a solução.
Seja d = mdc( a + b , a² - ab + b² ) . Então:
d = mdc( a + b , a² - ab + b² ) = mdc [ a + b , ( a + b ).( - 2a + b ) + 3a² ] = mdc [ a + b , ( a + b ).( - 2a + b ) + 3a² - 1.( - 2a + b ).( a + b ) ] = mdc ( a + b , 3a² ).
Analogamente:
d = mdc( a + b , a² - ab + b² ) = mdc [ a + b , ( b + a ).( - 2b + a ) + 3b² ] = mdc [ a + b , ( b + a ).( - 2b + a ) + 3b² - 1.( - 2b + a ).( a + b ) ] = mdc ( a + b , 3b² ).
Assim,
d|3a² e d|3b².
Segue-se que
d|mdc ( 3a² , 3b² ) ⇒ d|3mdc( a² , b² ) ⇒ d|3.[ mdc( a , b ) ]^2 ⇒ d|3.1
Logo,
d = 1 ou d = 3.
Portanto, mdc ( a + b , a² - ab + b² ) = 1 ou 3. C.q.m.
Boa sorte e excelente estudo!