Ensino Superior ⇒ Taxa de variação instantanea Tópico resolvido

[marcosaug]

Pressão nas paredes dos vasos sanguíneos (em milímetros de mercúrio: mmHg) em função do tempo t (em segundos) de um indivíduo cuja
frequência cardíaca é de 80 batimentos por minuto(levando em consideração que, e em geral, a pressão obedece a um ciclo, sendo que cada ciclo completo equivale a um batimento cardíaco). Na Figura3, note que em 15s ocorrem 20 ciclos completos.
[tex3]P = 100 - 20cos(\frac{8\pi }{3}t)[/tex3]

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[tex3]P = 100 - 20cos(\frac{8\pi }{3}t)[/tex3]

Determine a taxa de variação instantânea da pressão em relação ao tempo t = 5s

Resposta

---

-145,1039

[AnthonyC]

Para saber a taxa de variação de uma função num dado instante, basta derivá-la:
[tex3]P(t) = 100 - 20\cos\left(\frac{8\pi }{3}t\right)[/tex3]

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[tex3]P(t) = 100 - 20\cos\left(\frac{8\pi }{3}t\right)[/tex3]

[tex3]P' (t)= 20\sen\left(\frac{8\pi }{3}t\right)\cdot\frac{8\pi }{3}[/tex3]

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[tex3]P' (t)= 20\sen\left(\frac{8\pi }{3}t\right)\cdot\frac{8\pi }{3}[/tex3]

Queremos descobrir a taxa de variação quando [tex3]t=5[/tex3]

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[tex3]t=5[/tex3]

s. Então podemos substituir isso na equação da derivada:
[tex3]P' (t)= 20\sen\left(\frac{8\pi }{3}t\right)\cdot\frac{8\pi }{3}[/tex3]

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[tex3]P' (t)= 20\sen\left(\frac{8\pi }{3}t\right)\cdot\frac{8\pi }{3}[/tex3]

[tex3]P' (5)= 20\sen\left(\frac{8\pi }{3}\cdot 5\right)\cdot\frac{8\pi }{3}[/tex3]

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[tex3]P' (5)= 20\sen\left(\frac{8\pi }{3}\cdot 5\right)\cdot\frac{8\pi }{3}[/tex3]

[tex3]P' (5)= 20\sen\left(\frac{40\pi }{3}\right)\cdot\frac{8\pi }{3}[/tex3]

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[tex3]P' (5)= 20\sen\left(\frac{40\pi }{3}\right)\cdot\frac{8\pi }{3}[/tex3]

[tex3]P' (5)= 20\sen\left(\frac{36\pi }{3}+\frac{4\pi }{3}\right)\cdot\frac{8\pi }{3}[/tex3]

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[tex3]P' (5)= 20\sen\left(\frac{36\pi }{3}+\frac{4\pi }{3}\right)\cdot\frac{8\pi }{3}[/tex3]

[tex3]P' (5)= 20\sen\left(12\pi +\frac{4\pi }{3}\right)\cdot\frac{8\pi }{3}[/tex3]

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[tex3]P' (5)= 20\sen\left(12\pi +\frac{4\pi }{3}\right)\cdot\frac{8\pi }{3}[/tex3]

Como [tex3]12\pi [/tex3]

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[tex3]12\pi [/tex3]

são 6 rotações completas no círculo trigonométrico, o ângulo final será o mesmo que antes das rotações, assim [tex3]\sen\left(12\pi +\frac{4\pi }{3}\right)=\sen\left(\frac{4\pi }{3}\right)[/tex3]

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[tex3]\sen\left(12\pi +\frac{4\pi }{3}\right)=\sen\left(\frac{4\pi }{3}\right)[/tex3]

.
Também podemos ver que :
[tex3]\sen\left(\frac{4\pi }{3}\right)=\sen\left(\frac{3\pi }{3} +\frac{\pi }{3} \right)=\sen\left(\pi +\frac{\pi }{3} \right)=-\sen\left(\frac{\pi }{3} \right)[/tex3]

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[tex3]\sen\left(\frac{4\pi }{3}\right)=\sen\left(\frac{3\pi }{3} +\frac{\pi }{3} \right)=\sen\left(\pi +\frac{\pi }{3} \right)=-\sen\left(\frac{\pi }{3} \right)[/tex3]

E sabemos dos ângulos notáveis que [tex3]\sen\left(\frac{\pi }{3} \right)=\frac{\sqrt2}{2} [/tex3]

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[tex3]\sen\left(\frac{\pi }{3} \right)=\frac{\sqrt2}{2} [/tex3]

. Assim, substituindo esses resultados, temos:
[tex3]P' (5)=- \frac{80\pi\sqrt2 }{3}\approx118 \text{ mmHg}[/tex3]

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[tex3]P' (5)=- \frac{80\pi\sqrt2 }{3}\approx118 \text{ mmHg}[/tex3]