Ensino SuperiorDerivada contínua e crescente Tópico resolvido

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Vinitu199809
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Fev 2019 18 00:06

Derivada contínua e crescente

Mensagem não lida por Vinitu199809 » Seg 18 Fev, 2019 00:06

Seja f a função definida por [tex3]f(x)=2x-\sqrt{x^2+3}[/tex3] , [tex3]x\in \mathbb{R}[/tex3]
a) verifique que [tex3]f'[/tex3] é contínua em [tex3][tex3]\mathbb{R}[/tex3] [/tex3]
b) verifique que [tex3]f'(x)\neq 0 [/tex3] para todo [tex3]x\in \mathbb{R}[/tex3]
c) Tendo em vista que [tex3]f'(0)>0[/tex3] , conclua que [tex3]f[/tex3] é estritamente crescente




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drfritz
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Fev 2019 18 11:57

Re: Derivada contínua e crescente

Mensagem não lida por drfritz » Seg 18 Fev, 2019 11:57

Oi bom dia

a)para que [tex3]f[/tex3] seja contínua devemos ter [tex3] \lim_{x \to a}f(x)=f(a)[/tex3] e que [tex3]\lim_{x \to a^+}f(x)=\lim_{x \to a^-}f(x)[/tex3] , vejamos primeiramente [tex3]\lim_{x \to a^+}f(x)=\lim_{x \to a^+}(2x-\sqrt{x^2+3})=2a-\sqrt{a^2+3}[/tex3] e que [tex3]\lim_{x \to a^-}f(x)=\lim_{x \to a^-}(2x-\sqrt{x^2+3})=2a-\sqrt{a^2+3}[/tex3] , ou seja, [tex3]\lim_{x \to a^+}f(x)=\lim_{x \to a^-}f(x)[/tex3] , portanto [tex3]f[/tex3] é contínua.

b) Como [tex3]f(x)=2x-\sqrt{x^2+3}\rightarrow f'(x)=2-\frac{1}{2\sqrt{x^2+3}}[/tex3] , observe que [tex3]f'(x)\neq 0[/tex3] e que [tex3]f'(x)>0[/tex3] qualquer que seja [tex3]x[/tex3] , c) logo [tex3]f[/tex3] é crescente.

a fração dada por [tex3]\frac{1}{2\sqrt{x^2+3}}[/tex3] se torna cada vez menor quando tomamos [tex3]x\rightarrow +\infty [/tex3] ou quando [tex3]x\rightarrow -\infty [/tex3] .

Um abraço, :mrgreen:

Última edição: drfritz (Seg 18 Fev, 2019 11:57). Total de 1 vez.



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