Ensino Superior ⇒ Continuidade de função no ponto que é diferenciável

[FilipeDLQ]

Olá pessoal existe um teorema que diz que se a função é contínua em um ponto,
ou seja, existe derivadas parciais em um ponto, ela é diferenciável, contudo,
existem funções que são diferenciáveis em um ponto sem que as derivadas parciais sejam contínuas naquele ponto.

Esse exercício explora essa propriedade, e não consegui resolvê-lo, alguém pode me ajudar por favor?


Seja [tex3]f(x,y)=\begin{cases}
(x^2+y^2)sen\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right),(x,y)\neq (0,0)\\
0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~,(x,y)=(0,0)
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x,y)=\begin{cases}
(x^2+y^2)sen\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right),(x,y)\neq (0,0)\\
0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~,(x,y)=(0,0)
\end{cases}[/tex3]

Mostre que [tex3]\ \frac{\partial f}{\partial x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\ \frac{\partial f}{\partial x}[/tex3]

e [tex3]\frac{\partial f}{\partial y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}[/tex3]

não são continuas em (0,0), em seguida, mostre que f é diferenciável em (0,0).

AGRADEÇO ENORMEMENTE QUEM PUDER!