Ensino Superior ⇒ Determine o volume do sólido Tópico resolvido

[alencaruser]

Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide z= 2+x*2 +(y-2)*2 e pelos planos z = 1, x=1, x=-1 , y=0 , y=4

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

O sólido em questão está abaixo da superfície z = 2 + x² + ( y - 2 )^2 e acima do retângulo [ - 1 , 1 ] × [ 0 , 4 ] em z = 1. Então;

S = { ( x , y , z ) ∈ IR³ : - 1 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 4 e 1 ≤ z ≤ 2 + x² + ( y - 2 )^2 } .

Logo , o volume é dado por

[tex3]V=\int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}[2+x^2+(y-2)^2-1] \ dA[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=\int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}[2+x^2+(y-2)^2-1] \ dA[/tex3]

em que R = { ( x , y ) ∈ IR² ; - 1 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 4 }. Assim,

[tex3]V=\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{0}^{4}(x^2+y^2-4y+5) \ dydx[/tex3]

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[tex3]V=\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{0}^{4}(x^2+y^2-4y+5) \ dydx[/tex3]

[tex3]V=\int\limits_{-1}^{1}[x^2y+\frac{y^3}{3}-2y^2+5y]_{0}^{4} \ dx[/tex3]

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[tex3]V=\int\limits_{-1}^{1}[x^2y+\frac{y^3}{3}-2y^2+5y]_{0}^{4} \ dx[/tex3]

[tex3]V=\int\limits_{-1}^{1}(4x^2+\frac{28}{3}) \ dx[/tex3]

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[tex3]V=\int\limits_{-1}^{1}(4x^2+\frac{28}{3}) \ dx[/tex3]

[tex3]V=[\frac{4x^3}{3}+\frac{28x}{3}]_{-1}^{1}=\frac{64}{3}[/tex3]

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[tex3]V=[\frac{4x^3}{3}+\frac{28x}{3}]_{-1}^{1}=\frac{64}{3}[/tex3]

Portanto, o volume encontrado vale 64/3 u.v.


Bons estudos!

[alencaruser]

Muito obrigado pela ajuda Cardoso1979

[Cardoso1979]

Abraços!!!!!!!!!!