Ensino Superior ⇒ Volume de sólido por rotação (Eixo x) Tópico resolvido

[FilipeDLQ]

Olá pessoal alguém poderia me ajudar com essa:

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y):

[tex3]x^{2}+(y-2)^2\leq 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}+(y-2)^2\leq 1[/tex3]

Resposta

---

[tex3]4\pi ^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4\pi ^2[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe:

Solução

x² + ( y - 2 )^2 = 1

y = 2 ± √( 1 - x² )

Graficamente

IMG_20180405_231223342.jpg (55.99 KiB) Exibido 3207 vezes

Daí;

[tex3]V_{1}=π\int\limits_{-1}^{1}(2+\sqrt{1-x^{2} } )^{2}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V_{1}=π\int\limits_{-1}^{1}(2+\sqrt{1-x^{2} } )^{2}dx[/tex3]

[tex3]V_{1}=π\int\limits_{-1}^{1}(5 - x^{2}+4\sqrt{1-x^{2} } )dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V_{1}=π\int\limits_{-1}^{1}(5 - x^{2}+4\sqrt{1-x^{2} } )dx[/tex3]

[tex3]V_{1}= 2π\int\limits_{0}^{1}( 5 -x^{2} ) dx + 8π\int\limits_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx[/tex3]

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[tex3]V_{1}= 2π\int\limits_{0}^{1}( 5 -x^{2} ) dx + 8π\int\limits_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx[/tex3]

Para calcular :[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{1-x^{2}}dx[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{1-x^{2}}dx[/tex3]

, faça;

x = sen u → dx = cos u du

Temos;

[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{1-x^{2}}dx = \int\limits_{}^{}\sqrt{1-sen^{2}u}cos\ u\ du[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{1-x^{2}}dx = \int\limits_{}^{}\sqrt{1-sen^{2}u}cos\ u\ du[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}cos^{2}u\ du = \int\limits_{}^{}\frac{1+cos2u}{2}du = \frac{u}{2} + \frac{sen2u}{4}[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}cos^{2}u\ du = \int\limits_{}^{}\frac{1+cos2u}{2}du = \frac{u}{2} + \frac{sen2u}{4}[/tex3]

Logo;

[tex3]V_{1} = 2π.[ 5x - \frac{x^{3}}{3}]_{0}^
{1} + 8π[ \frac{u}{2} + \frac{sen2u}{4}]_{0}^
{\frac{π}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V_{1} = 2π.[ 5x - \frac{x^{3}}{3}]_{0}^
{1} + 8π[ \frac{u}{2} + \frac{sen2u}{4}]_{0}^
{\frac{π}{2}}[/tex3]

Calculando, resulta em;

[tex3]V_{1} = \frac{28π}{3}+2π^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V_{1} = \frac{28π}{3}+2π^{2}[/tex3]

Agora , basta calcular o volume 2, segue o mesmo processo de resolução do volume 1, a única diferença é que você vai trabalhar com a função 2 - √( 1 - x² )

[tex3]V_{2}=π\int\limits_{-1}^{1}(2-\sqrt{1-x^{2} } )^{2}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V_{2}=π\int\limits_{-1}^{1}(2-\sqrt{1-x^{2} } )^{2}dx[/tex3]

Calculando, resulta em;

[tex3]V_{2} = \frac{28π}{3} - 2π^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V_{2} = \frac{28π}{3} - 2π^{2}[/tex3]

Portanto, o volume procurado é:

[tex3]V = V_{1} - V_{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V = V_{1} - V_{2}[/tex3]

[tex3]V = \frac{28π}{3} + 2π^{2} - \frac{28π}{3} + 2π^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V = \frac{28π}{3} + 2π^{2} - \frac{28π}{3} + 2π^{2}[/tex3]

V = 4π² u.v.


Nota

[tex3]V = π.\int\limits_{a}^{b}[ f(x) ]^{2}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V = π.\int\limits_{a}^{b}[ f(x) ]^{2}dx[/tex3]

Como sen u = x, então;

Para x = 0 → u = 0

Para x = 1 → u = [tex3]\frac{π}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{π}{2}[/tex3]

Bons estudos!!