Verificar convergencia de seguinte série por meio do teste de D'Alambert.
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{3n}{\sqrt{n^{3}+1}}[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Convergencia de série por meio do teste de D'Alambert.
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Jun 2017
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20:58
Convergencia de série por meio do teste de D'Alambert.
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Jun 2017
28
15:54
Re: Convergencia de série por meio do teste de D'Alambert.
Seja [tex3]a_{n}=\frac{3n}{\sqrt{n^{3}+1}}[/tex3]
[tex3]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{3n\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}+1}}=3>0[/tex3]
Então, [tex3]\sum_{n=1}^{\infty } a_{n}[/tex3] converge se e somente se [tex3]\sum_{n=1}^{\infty } b_{n}[/tex3] converge.
Mas, pelo teste da comparação com a série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}[/tex3] , é imediato que a série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{\sqrt{n}}[/tex3] diverge uma vez que:
[tex3]\frac{1}{n} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}[/tex3] para todo [tex3]n\geq1[/tex3]
Logo, [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{3n}{\sqrt{n^{3}+1}}[/tex3] diverge.
Obs: Em geral, tem-se que [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}[/tex3] converge se e apenas se [tex3]s>1[/tex3] o que pode ser demonstrado pelo teste da integral.
O teste da razão (D'Lambert) nesse caso é inconclusivo pois o limite [tex3]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/tex3] é igual a 1.
e [tex3]b_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex3]
os termos de duas séries. Note que [tex3]a_{n}>0[/tex3]
, [tex3]b_{n}>0[/tex3]
para [tex3]n\geq1[/tex3]
, então o teste do limite é aplicável.[tex3]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{3n\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}+1}}=3>0[/tex3]
Então, [tex3]\sum_{n=1}^{\infty } a_{n}[/tex3] converge se e somente se [tex3]\sum_{n=1}^{\infty } b_{n}[/tex3] converge.
Mas, pelo teste da comparação com a série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}[/tex3] , é imediato que a série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{\sqrt{n}}[/tex3] diverge uma vez que:
[tex3]\frac{1}{n} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}[/tex3] para todo [tex3]n\geq1[/tex3]
Logo, [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{3n}{\sqrt{n^{3}+1}}[/tex3] diverge.
Obs: Em geral, tem-se que [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}[/tex3] converge se e apenas se [tex3]s>1[/tex3] o que pode ser demonstrado pelo teste da integral.
O teste da razão (D'Lambert) nesse caso é inconclusivo pois o limite [tex3]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/tex3] é igual a 1.
Editado pela última vez por mateusITA em 28 Jun 2017, 15:54, em um total de 4 vezes.
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