Calcule:
[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)[/tex3]
Obs: Se possível, na hora da resolução, não pulem muito os passo a passo, por favor.
Gabarito: [tex3]+\infty[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Limite Infinito Tópico resolvido
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Fev 2017
16
20:17
Re: Limite Infinito
Ola Amigo,
Repara que primeiramente nos devemos aplicar o conjugado, que seria a mesma expressao embora no meio com o sinal oposto( neste caso [tex3]+[/tex3] ), em cima e em baixo, notaremos que em cima teremos algo tipo [tex3]a^{2}-b^{2}=(a-b).(a+b)[/tex3] , analogamente ao fazermos a nossa expresser original multiplicando com o seu conjugado, teremos [tex3]x+\sqrt{x+\sqrt{x}}-(\sqrt{x})^{2}\rightarrow \sqrt{x+\sqrt{x}}[/tex3] . Logo, pondo em evidencia o [tex3]x[/tex3] , teremos [tex3][x.(1+\frac{1}{\sqrt{x}})]^\frac{1}{2}=\sqrt{x}[/tex3] . Repara que estavamos a trabalhar com a parte de cima, agora vamos trabalhar com a parte de baixo com o mesmo processo, assim teremos:
[tex3][x.(1+\frac{1}{\sqrt{x}})]^\frac{1}{2}=\sqrt{x+\sqrt{x}}[/tex3] [tex3]+[/tex3] [tex3]\sqrt{x}[/tex3]
Vamos continuar, agora com essa nova expressao, pondo o x em evidencia de novo:
[tex3]\sqrt{x.(1+\frac{1}{\sqrt{x}})}=\sqrt{x} + \sqrt{x}[/tex3] , somando eles teremos [tex3]2.\sqrt{x}[/tex3] . Ja fizemos a parte [tex3]I[/tex3] ( a de cima) e a parte [tex3]II[/tex3] ( a de baixo) de maneira Metodica(detalhadamente, passo-a-passo), agora vamos calcular o limite de [tex3]I/II[/tex3] ,'
[tex3]\frac{\sqrt{x}}{2.\sqrt{x}}=\boxed{\frac{1}{2}}[/tex3] respectivamente.
Repara que primeiramente nos devemos aplicar o conjugado, que seria a mesma expressao embora no meio com o sinal oposto( neste caso [tex3]+[/tex3] ), em cima e em baixo, notaremos que em cima teremos algo tipo [tex3]a^{2}-b^{2}=(a-b).(a+b)[/tex3] , analogamente ao fazermos a nossa expresser original multiplicando com o seu conjugado, teremos [tex3]x+\sqrt{x+\sqrt{x}}-(\sqrt{x})^{2}\rightarrow \sqrt{x+\sqrt{x}}[/tex3] . Logo, pondo em evidencia o [tex3]x[/tex3] , teremos [tex3][x.(1+\frac{1}{\sqrt{x}})]^\frac{1}{2}=\sqrt{x}[/tex3] . Repara que estavamos a trabalhar com a parte de cima, agora vamos trabalhar com a parte de baixo com o mesmo processo, assim teremos:
[tex3][x.(1+\frac{1}{\sqrt{x}})]^\frac{1}{2}=\sqrt{x+\sqrt{x}}[/tex3] [tex3]+[/tex3] [tex3]\sqrt{x}[/tex3]
Vamos continuar, agora com essa nova expressao, pondo o x em evidencia de novo:
[tex3]\sqrt{x.(1+\frac{1}{\sqrt{x}})}=\sqrt{x} + \sqrt{x}[/tex3] , somando eles teremos [tex3]2.\sqrt{x}[/tex3] . Ja fizemos a parte [tex3]I[/tex3] ( a de cima) e a parte [tex3]II[/tex3] ( a de baixo) de maneira Metodica(detalhadamente, passo-a-passo), agora vamos calcular o limite de [tex3]I/II[/tex3] ,'
[tex3]\frac{\sqrt{x}}{2.\sqrt{x}}=\boxed{\frac{1}{2}}[/tex3] respectivamente.
Editado pela última vez por Cientista em 16 Fev 2017, 20:17, em um total de 7 vezes.
Força e bons estudos!
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