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Mensagem não lidapor **Idocrase** » 23 Abr 2024, 11:46 · Mensagem não lida por **Idocrase** » 23 Abr 2024, 11:46

Mostre que, se [tex3](a,b,c)[/tex3] é uma terna pitagórica primitiva, então [tex3]c[/tex3] é ímpar e [tex3]a[/tex3] ou [tex3]b[/tex3] é par.

Mensagem não lidapor **ProfLaplace** » 23 Abr 2024, 15:02

Suponha a e b pares, isto é, [tex3]a=2m[/tex3] e [tex3]b=2n[/tex3] , com m e n inteiros. Assim, [tex3]c^2=4\cdot(m^2+n^2)[/tex3] . Logo [tex3]2|c^2[/tex3] e, como 2 é primo, temos que [tex3]2|c[/tex3] . Ou seja, c seria par também, o que contradiz o fato da terna ser primitiva. Logo a e b não podem ser pares ao mesmo tempo.
Suponha agora a e b ímpares, isto é, [tex3]a=2m+1[/tex3] e [tex3]b=2n+1[/tex3] , com m e n inteiros. Então [tex3]c^2=4\cdot(m^2+m+n^2+n)+2[/tex3] . Assim [tex3]2|c^2[/tex3] e, como 2 é primo, temos que [tex3]2|c[/tex3] . Daí segue que [tex3]4|c^2[/tex3] , o que entra em contradição com a expressão anterior de [tex3]c^2[/tex3] . Logo a e b não podem ser ímpares ao mesmo tempo.

Conclusão disto: a e b precisam ter paridades diferentes (um será ímpar e o outro será par).
Suponhamos [tex3]a=2m+1[/tex3] e [tex3]b=2n[/tex3] agora. Então [tex3]c^2=4\cdot(m^2+m+n^2)+1[/tex3] , de forma que c é sempre ímpar.
O caso com a par e b ímpar é análogo.

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