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Mensagem não lidapor **Idocrase** » 11 Abr 2024, 11:32 · Mensagem não lida por **Idocrase** » 11 Abr 2024, 11:32

Prove que se [tex3](x,y,z)[/tex3] é uma terna pitagórica, então [tex3]x[/tex3] ou [tex3]y[/tex3] é múltiplo de [tex3]3[/tex3].

[tex3]z^2 = x^2+y^2[/tex3]
suponha que [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] não seja múltiplos de [tex3]3[/tex3] , isso implica que [tex3]x^2 \equiv y^2 \equiv 1 \mod 3[/tex3]
logo [tex3]z^2 \equiv 1+1 \equiv 2 \mod 3[/tex3] absurdo, pois nenhum quadrado perfeito é [tex3]2 \mod 3[/tex3] .
Logo, ao menos um entre [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] é divisível por [tex3]3[/tex3] .
Se ambos forem divisíveis por 3, seu mdc não será 1 e portanto poderemos dividir x,y e z por 3 e obtermos uma tripla pitagórica verdadeira (primitiva).
Logo, ou x ou y é divisível por 3 mas não ambos ao mesmo tempo.

Mensagem não lidapor **ProfLaplace** » 11 Abr 2024, 17:33

Boa solução!
Só discordo do final.

(x,y,z)=(9,12,15) é uma terna pitagórica com x e y múltiplos de 3. O enunciado não falou nada sobre o mdc(x,y) precisar ser 1.
Então o "ou" do enunciado teria a interpretação usual de "ou inclusivo" (um, outro, ou ambos).

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