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Mensagem não lidapor **Idocrase** » 28 Jan 2024, 09:27 · Mensagem não lida por **Idocrase** » 28 Jan 2024, 09:27

Mostre que se [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são positivos com [tex3] \text{mdc}(a,b)=\text{mmc}(a, b)[/tex3], então [tex3]a=b[/tex3].

A única ideia que tive até agora foi essa: se [tex3] \text{mdc}(a,b)=\text{mmc}(a, b)[/tex3] , então existe um [tex3]d[/tex3] tal que [tex3]d=\text{mdc}(a,b)[/tex3] e [tex3]d=\text{mmc}(a,b)[/tex3] . Uma forma de mostrar que [tex3]a=b[/tex3] seria mostrar que um divide o outro?

Mensagem não lidapor **Idocrase** » 28 Jan 2024, 10:20 · Mensagem não lida por **Idocrase** » 28 Jan 2024, 10:20

Tentei fazer assim:

Há um teorema que diz:

[tex3]\text{mmc}(a,b)\cdot\text{mdc}(a,b)=|ab|[/tex3]

Como [tex3]\text{mmc}(a,b)=\text{mdc}(a,b)[/tex3] , então existe um [tex3]d[/tex3] tal que [tex3]\text{mmc}(a,b)=d[/tex3] e [tex3]\text{mdc}(a,b)=d[/tex3] , então temos a igualdade:

[tex3]d\cdot d=ab[/tex3]
[tex3]d^2=ab[/tex3]

A única forma dessa igualdade ser verdadeira é se [tex3]a[/tex3] for igual a [tex3]b[/tex3] .

Mensagem não lidapor **Idocrase** » 28 Jan 2024, 10:22 · Mensagem não lida por **Idocrase** » 28 Jan 2024, 10:22

Ou seja, temos que [tex3]d\cdot d=ab[/tex3] , então [tex3]d=a[/tex3] e [tex3]d=b[/tex3] , então segue por transitividade que [tex3]a=b[/tex3] , estou certo?

Mensagem não lidapor **leozitz** » 28 Jan 2024, 11:18 · Mensagem não lida por **leozitz** » 28 Jan 2024, 11:18

[tex3]d^2 = ab [/tex3] não implica que a = b. tem que usar mais informações
por exemplo 4^2 = 2*8
[tex3]mdc(a, b) \le a\le mmc(a, b)[/tex3] mas esses 2 valores são iguais, então a = mdc(a, b), por um argumento semelhante b = mdc(a, b) dai sim segue que a = b

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