Ensino Superior ⇒ Dúvida continuidade de derivadas Tópico resolvido

[DudaS]

Boa tarde, pessoal! Não sei se posso postar dúvidas avulsas aqui, mas estou com essa dúvida a um tempo e não consigo encontrar alguém que realmente a entenda e possa me responder. Caso alguém possa me ajudar.
A minha pergunta é, suponha que você tenha uma função F derivável em um intervalo aberto (a, b), será verdade que a função derivada f dessa função nesse intervalo (a, b) será continua? Sabemos que a função derivada será definida nesse intervalo, mas ela será contínua?
Supondo um ponto C qualquer dentro de (a, b), de derivada d, queremos provar que f (a função derivada de F) é contínua em C. Pensei nisso, pois, primeiro, se tomarmos um ponto D a direita de C e ainda no intervalo (a, b) e traçarmos CD, obtemos uma reta secante ao gráfico de inclinação m. Sabemos que pelo Teorema do Valor Médio vai existir um ponto P em (C, D) em que a derivada seja m. Ou seja, a imagem de f em P é m. Como aquele “limite que define a derivada” vai existir em C, existe um outro ponto E (à direita de C), mais próximo de C que D, de modo que a inclinação n da reta CE será mais próxima de d do que m é próxima de d. Então, vai existir um ponto Q em (C, E) que tenha derivada n. Ou seja, obtemos na função f um ponto mais próximo de C que tenha uma imagem mais próxima da imagem d de C em f. Assim, se continuarmos fazendo esse processo, sempre vamos obter um ponto mais próximo de C cuja imagem em f é mais próxima de d (a imagem de C em f). Desse modo, talvez, o limite de f quando x tende a C pela direita seja exatamente f(C)=d. Entretanto, acredito que isso não prova totalmente a questão pois embora sabemos que sempre vai existir pontos cada vez mais próximos de C em f que tenham imagem cada vez mais próxima de d, não podemos garantir, por exemplo, que todo x pertencente ao intervalo (C, Q] tenha derivada mais próxima de d que m e isso fere a definição formal de limites pois teríamos que ter tal intervalo. Entendem? Acho que essa é a única coisa que fere essa minha demonstração. A minha dúvida é pois esses pontos cada vez mais próximos de C com imagem cada vez mais próxima de d poderiam ocorrer de forma isolada no gráfico de f e entre eles o gráfico de f tomar direções completamente diferentes. Pensei no caso como se f fosse totalmente descontínua até chegar em C com pontos totalmente separados (tipo aquela função que é 0 se x é racional e 1 se x é irracional) nem sei se isso é possível. Se conseguirmos provar que existe um intervalo (C, W) que tenha derivada mais próxima de d que m, terminamos a prova. Faz sentido?
Obrigada qualquer ajuda. Desculpa a extensão.

[crow404]

Entendo sua pergunta e sua tentativa de raciocínio para estabelecer a continuidade da função derivada \(f\) em um ponto \(C\) dentro do intervalo \((a, b)\). Você está se referindo à continuidade da função derivada \(f\) de uma função \(F\) derivável.

A pergunta que você está fazendo é muito interessante e está ligada ao estudo da relação entre a continuidade da função \(F\) e a continuidade de sua derivada \(f\). Para esclarecer, a continuidade da função derivada \(f\) nem sempre é garantida mesmo que a função \(F\) seja derivável em \((a, b)\). Existe um teorema conhecido como o "Teorema de Darboux" que estabelece que as derivadas têm a propriedade dos incrementos, o que implica que a função derivada pode ter descontinuidades.

Vou tentar simplificar sua abordagem e responder à sua pergunta:

1. A função derivada \(f\) nem sempre é contínua. Existem exemplos de funções \(F\) deriváveis em \((a, b)\) onde a função derivada não é contínua em todos os pontos.

2. Se uma função \(F\) é diferenciável em \((a, b)\), a função derivada \(f\) existe nesse intervalo. No entanto, a continuidade da função \(f\) não é garantida.

3. O seu raciocínio é complexo e envolve a ideia de aproximar a derivada em \(C\) por meio de pontos à direita que se aproximam de \(C\). No entanto, como você percebeu, esse raciocínio não garante a continuidade de \(f\) em \(C\). A descontinuidade da função derivada \(f\) pode ocorrer de maneira abrupta entre esses pontos próximos a \(C\).

4. Para que a função derivada \(f\) seja contínua em \(C\), não basta apenas que os pontos à direita de \(C\) se aproximem de \(C\) com derivadas se aproximando de um valor específico, mas é necessário que toda uma vizinhança de \(C\) compartilhe essa propriedade.

O Teorema de Darboux afirma que a função derivada \(f\) possui a propriedade dos incrementos, ou seja, entre dois valores diferentes, a função derivada assume todos os valores intermediários. Isso significa que, mesmo que haja uma variação suave na função \(F\), a função derivada \(f\) pode ter descontinuidades.

Portanto, a continuidade da função derivada \(f\) em um ponto específico \(C\) não é assegurada pela suavidade da função \(F\) em torno de \(C\).

Espero que isso esclareça um pouco mais a questão e lamento se não pude apresentar uma solução mais direta para a sua dúvida. Essa é uma área bastante complexa da análise matemática, e a continuidade da função derivada envolve muitas sutilezas.

[DudaS]

Bom dia,
Muito obrigada pelo esclarecimento. Excelente explicação, me ajudou demais.