Seja [tex3]G[/tex3] um grupo tal que para todo [tex3]x\in G[/tex3] temos que [tex3]x^2=e[/tex3], onde [tex3]e[/tex3] é o elemento identidade do grupo. Mostre que [tex3]G[/tex3] é abeliano.
Alguém pode me ajudar com esse exercício? Eu não sei como fazer.
Ensino Superior ⇒ Estruturas Algébricas 1 Tópico resolvido
Jan 2024
30
11:39
Re: Estruturas Algébricas 1
Consegui fazer.
Dados [tex3]a,b\in G[/tex3] , queremos mostrar que [tex3]x\star y=y\star x[/tex3] . Nesse caso, [tex3]x^2=e[/tex3] e [tex3]y^2=e[/tex3]
Se [tex3]a,b\in G[/tex3] , então [tex3]x\star y=k\in G[/tex3] . Logo,
[tex3]k^2=e\\k\star k=e\\(x\star y)\star(x\star y)=e[/tex3]
Operando [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] nos dois lados, temos:
[tex3]x\star(x\star y)\star(x\star y)\star y=x\star e\star y[/tex3]
[tex3](x\star x)\star y \star x\star (y\star y)=x\star e\star y[/tex3]
[tex3]x^2\star y \star x\star y^2=x\star y[/tex3]
[tex3]e\star y \star x\star e=x\star y[/tex3]
[tex3]y \star x\star e=x\star y[/tex3]
[tex3]y \star x=x\star y[/tex3]
Portanto, G é abeliano.
Dados [tex3]a,b\in G[/tex3] , queremos mostrar que [tex3]x\star y=y\star x[/tex3] . Nesse caso, [tex3]x^2=e[/tex3] e [tex3]y^2=e[/tex3]
Se [tex3]a,b\in G[/tex3] , então [tex3]x\star y=k\in G[/tex3] . Logo,
[tex3]k^2=e\\k\star k=e\\(x\star y)\star(x\star y)=e[/tex3]
Operando [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] nos dois lados, temos:
[tex3]x\star(x\star y)\star(x\star y)\star y=x\star e\star y[/tex3]
[tex3](x\star x)\star y \star x\star (y\star y)=x\star e\star y[/tex3]
[tex3]x^2\star y \star x\star y^2=x\star y[/tex3]
[tex3]e\star y \star x\star e=x\star y[/tex3]
[tex3]y \star x\star e=x\star y[/tex3]
[tex3]y \star x=x\star y[/tex3]
Portanto, G é abeliano.
Jan 2024
30
11:39
Re: Estruturas Algébricas 1
pra grupo vale:
[tex3]a*e=e*a=a[/tex3]
[tex3]a*a'=a'*a=e[/tex3]
[tex3]a*(b*c) =(a*b)*c[/tex3]
vamos provar que é abeliano
[tex3]b*(a*a) = (a*a)*b=b\\
(b*a)*a = a*(a*b)=b[/tex3]
[tex3](b*a)*a = b\\
(b*a)*a*b = b^2 = e[/tex3]
[tex3](b*a)*(a*b) = e\\
(b*a)*(a*b)*(a*b) = e*(a*b)\\
(b*a)*e = a*b\\
b*a =a*b[/tex3]
note que eu comecei com [tex3]a*e=e*a=a[/tex3] pq lembra muito a propriedade comutativa que é o que a gente quer provar
[tex3]a*e=e*a=a[/tex3]
[tex3]a*a'=a'*a=e[/tex3]
[tex3]a*(b*c) =(a*b)*c[/tex3]
vamos provar que é abeliano
[tex3]b*(a*a) = (a*a)*b=b\\
(b*a)*a = a*(a*b)=b[/tex3]
[tex3](b*a)*a = b\\
(b*a)*a*b = b^2 = e[/tex3]
[tex3](b*a)*(a*b) = e\\
(b*a)*(a*b)*(a*b) = e*(a*b)\\
(b*a)*e = a*b\\
b*a =a*b[/tex3]
note que eu comecei com [tex3]a*e=e*a=a[/tex3] pq lembra muito a propriedade comutativa que é o que a gente quer provar
Editado pela última vez por leozitz em 30 Jan 2024, 11:45, em um total de 1 vez.
Jan 2024
30
11:41
Re: Estruturas Algébricas 1
Respondemos na mesma hora.leozitz escreveu: ↑30 Jan 2024, 11:39 pra grupo vale:
[tex3]a*e=e*a=a[/tex3]
[tex3]a*a'=a'*a=e[/tex3]
[tex3]a*(b*c) =(a*b)*c[/tex3]
vamos provar que é abeliano
[tex3]b*(a*a) = (a*a)*b=b\\
(b*a)*a = a*(a*b)=b[/tex3]
[tex3](b*a)*a = b\\
(b*a)*a*b = b^2 = e[/tex3]
[tex3](b*a)*(a*b) = e\\
(b*a)*(a*b)*(a*b) = e*(a*b)\\
(b*a)*e = a*b\\
b*a =a*b[/tex3]
note que eu comecei com [tex3]a*a'=a'*a=e[/tex3] pq lembra muito a propriedade comutativa que é o que a gente quer provar
Jan 2024
30
11:42
Re: Estruturas Algébricas 1
do jeito que vc fez tbm está certo, não tinha notado que vc tinha respondido
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