Generalizando os termos da soma, temos:
[tex3]\sum_{i=1}^{1000} \frac{1}{(3i-2)(3i+1)}[/tex3]
Separando o produto no denominador em uma soma de duas frações:
[tex3]\frac{1}{(3i-2)(3i+1)}=\frac{A}{3i-2}+\frac{B}{3i+1}[/tex3]
[tex3]1=A(3i+1)+B(3i-2)[/tex3]
[tex3]1=3Ai+A+3Bi-2B[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
3A+3B=0 \\
A-2B=1
\end{cases} \rightarrow
\begin{cases}
A+B=0 \\
A-2B=1
\end{cases}[/tex3]
[tex3]A=\frac{1}{3}[/tex3] e [tex3]B=-\frac{1}{3}[/tex3]
Então podemos reescrever a soma:
[tex3]\sum_{i=1}^{1000} \frac{1}{3(3i-2)}-\frac{1}{3(3i+1)}=\frac{1}{3}.\sum_{i=1}^{1000} \frac{1}{(3i-2)}-\frac{1}{(3i+1)}[/tex3]
Colocando alguns valores para a soma, veja o que ocorre:
[tex3]\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}...[/tex3]
Os termos vão se cancelando. É fácil ver então que
[tex3]\frac{1}{3}.\sum_{i=1}^{1000} \frac{1}{(3i-2)}-\frac{1}{(3i+1)}=\frac{1}{3}.\left ( \frac{1}{1}-\frac{1}{3.1000+1} \right ) = \frac{1}{3} \left ( \frac{3000}{3001} \right ) = \frac{1000}{3001}[/tex3]
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Problema 41:
(IME – 2006) Considere o polinômio [tex3]P(x) = x^5 - 3x^4 - 3x^3 + 27x^2 - 44x + 30[/tex3] . Sabendo que o produto de duas de suas raízes complexas é igual a [tex3]3 - i[/tex3] e que as partes reais e imaginárias de todas as suas raízes complexas são inteiras e não – nulas, calcule todas as raízes do polinômio.
[tex3]S=\{ -3,(1-i),(1+i),(2-i),(2+i) \}[/tex3]