[tex3]4\cdot \tan^4x=\frac{1}{\cos^4x}+4\,\,\Longrightarrow\,\,\frac{4\cdot\text{sen}^4x}{\cos^4x}=\frac{1 + 4\cos^4x}{\cos^4x}[/tex3]
[tex3]4\cdot\sen^4x=1 + 4\cos^4x\,\,\Longrightarrow\,\,4\cdot({\text{sen}^4x - \cos^4x})=1[/tex3] [tex3]\Longrightarrow\,\,4\cdot({\cos^4x - \text{sen}^4x})={-1}[/tex3]
[tex3]4\cdot({\cos^2x + \text{sen}^2x})({\cos^2x - \text{sen}^2x})={-1}[/tex3] [tex3]\Longrightarrow\,\,4\cdot1\cdot({\cos^2x-\text{sen}^2x})={-1}[/tex3]
[tex3]4\cdot\cos2x={-1}\,\,\Longrightarrow\,\,\cos2x=\frac{-1}{4}[/tex3]
temos que [tex3]0\leq x< \frac{\pi}{2}[/tex3] , e [tex3]\cos2x=\frac{-1}{4}[/tex3] . Logo:
[tex3]\text{sen}^2(2x)=1 - \cos^2(2x)\,\,\Longrightarrow\,\, \text{sen}(2x)=\frac{\sqrt{15}}{4}[/tex3]
Conclusão:
[tex3]\text{sen}(2x) + \text{sen}(4x)= \text{sen}(2x) + 2\cdot\text{sen}(2x)\cdot\cos(2x) \,\,\Longrightarrow\,\,\frac{\sqrt{15}}{4}+2\cdot{\frac{\sqrt{15}}{4}}\cdot\frac{-1}{4}[/tex3]
sen(2x) + sen(4x)= [tex3]\frac{\sqrt{15}}{8}[/tex3], letra b.
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Problema 111
Ita(2001) Um triângulo tem lados medindo 3, 4 e 5 centímetros. A partir dele, constrói-se uma seqüência de triângulos do seguinte modo: os pontos médios dos lados de um triângulo são os vértices do seguinte. Dentre as alternativas abaixo, o valor em centímetros quadrados que está mais próximo da soma das áreas dos 78 primeiros triângulos assim construídos, incluindo o triângulo inicial, é:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
Gabarito:A