Ensino Fundamental

Mensagem não lidapor **juniorcesar** » 18 Mai 2014, 22:32

AB=8 cm, AC= 5 cm e BC=7 cm são os lados de um triângulo ABC.inscreve-se neste triângulo uma circunferência e traça-se-lhe a tangente paralela ao lado BC,cujos pontos de interseção com os lados AB e AC são D e E.Calcular a razão ID/IE, sendo I o ponto de contacto da tangente DE com a Circunferência inscrita no triângulo ABC.

Resposta

2/5

Consideremos a figura:

: Circunferência inscrita.jpg (26.52 KiB) Exibido 1455 vezes

Temos que:
[tex3]\overline{AB}=8[/tex3]
[tex3]\overline{AC}=5[/tex3]
[tex3]\overline{BC}=7[/tex3]

Se chamarnos [tex3]\overline{BP}=x[/tex3] , temos que:

[tex3]\overline{BR}=x[/tex3]
[tex3]\overline{AP}=8-x[/tex3]
[tex3]\overline{AQ}=8-x[/tex3]
[tex3]\overline{CQ}=-3+x[/tex3]
[tex3]\overline{CR}=-3+x[/tex3]

[tex3]\overline{BC}=\overline{BR}+\overline{CR}[/tex3]
[tex3]7=x+(-3+x) \Longleftrightarrow x=5[/tex3]

Portanto:
[tex3]\overline{AP}=3[/tex3]
Mas: [tex3]\overline{AP}=\overline{AD}+\overline{PD}[/tex3] e como [tex3]\overline{PD}=\overline{DI}[/tex3] , ficamos com:
[tex3]\overline{AP}=\overline{AD}+\overline{DI}[/tex3]
[tex3]3=\overline{AD}+\overline{DI}[/tex3]

Analogamente:
[tex3]\overline{AQ}=3[/tex3]
Mas: [tex3]\overline{AQ}=\overline{AE}+\overline{EQ}[/tex3] e como [tex3]\overline{EQ}=\overline{EI}[/tex3] , ficamos com:
[tex3]\overline{AQ}=\overline{AE}+\overline{EI}[/tex3]
[tex3]3=\overline{AE}+\overline{EI}[/tex3]

Nota-se que:
[tex3]\overline{AD}+\overline{DI}+\overline{AE}+\overline{EI}=6[/tex3] o perímetro do [tex3]\Delta ADE[/tex3]

Com o perímetro do [tex3]\Delta ABC=20[/tex3] , podemos estabelecer a relação de semelhança [tex3](k)[/tex3] entre os dois triângulos:
[tex3]\frac{p\Delta ABC}{p\Delta ADE}=\frac{10}{3}=k[/tex3]

Podemos então tirar que:
[tex3]\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{10}{3}[/tex3]
[tex3]\frac{8}{\overline{AD}}=\frac{10}{3}[/tex3]
[tex3]\overline{AD}=\frac{12}{5}[/tex3]

Como: [tex3]\overline{AP}=\overline{AD}+\overline{DI}[/tex3]
[tex3]3=\frac{12}{5}+\overline{DI}[/tex3]
[tex3]\overline{DI}=\frac{3}{5}[/tex3]

Analogamente:
[tex3]\frac{\overline{AC}}{\overline{AQ}}=\frac{10}{3}[/tex3]
[tex3]\frac{5}{\overline{AQ}}=\frac{10}{3}[/tex3]
[tex3]\overline{AQ}=\frac{3}{2}[/tex3]

Como: [tex3]\overline{AQ}=\overline{AE}+\overline{EI}[/tex3]
[tex3]3=\frac{3}{2}+\overline{EI}[/tex3]
[tex3]\overline{EI}=\frac{3}{2}[/tex3]

A razão [tex3]\frac{\overline{DI}}{\overline{EI}}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{5}[/tex3]

Espero ter ajudado!

Ensino Fundamental ⇒ Geometria Plana Tópico resolvido

Geometria Plana

Re: Geometria Plana

Ensino Fundamental ⇒ Geometria Plana Tópico resolvido

Geometria Plana

Re: Geometria Plana

Entrar | Registrar