Ensino Fundamental ⇒ Integral Curvilíneas - Diva Flaming Tópico resolvido

[magben]

Capítulo 9.2. Questão 12.

Calcular a integral curvilínea[tex3]\int\limits_{C}xyds[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{C}xyds[/tex3]

, onde C é a elipse [tex3]\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=1[/tex3]

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[tex3]\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=1[/tex3]

Resposta

---

0

[παθμ]

magben, divida a integral em 2 partes, correspondentes à metade superior e inferior da elipse, respectivamente.

[tex3]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \Longrightarrow y^2=b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right).[/tex3]

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[tex3]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \Longrightarrow y^2=b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right).[/tex3]

[tex3]ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{dx^2\left(1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right)}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}|dx|.[/tex3]

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[tex3]ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{dx^2\left(1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right)}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}|dx|.[/tex3]

Metade superior: [tex3]y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \Longrightarrow \left(\frac{dy}{dx}\right)^2=\frac{b^2 x^2}{a^4-a^2x^2}.[/tex3]

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[tex3]y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \Longrightarrow \left(\frac{dy}{dx}\right)^2=\frac{b^2 x^2}{a^4-a^2x^2}.[/tex3]

Além disso, [tex3]|dx|=dx,[/tex3]

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[tex3]|dx|=dx,[/tex3]

então [tex3]ds=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx.[/tex3]

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[tex3]ds=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx.[/tex3]

[tex3]\int_1 xyds=\int_{-a}^{a}\sqrt{\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\left(1+\frac{b^2x^2}{a^4-a^2x^2}\right)}bx \; dx.[/tex3]

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[tex3]\int_1 xyds=\int_{-a}^{a}\sqrt{\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\left(1+\frac{b^2x^2}{a^4-a^2x^2}\right)}bx \; dx.[/tex3]

Metade inferior: [tex3]y=-b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}.[/tex3]

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[tex3]y=-b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}.[/tex3]

A expressão para [tex3](dy/dx)^2[/tex3]

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[tex3](dy/dx)^2[/tex3]

é a mesma, mas agora [tex3]|dx|=-dx.[/tex3]

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[tex3]|dx|=-dx.[/tex3]

Então: [tex3]\int_2 xy ds=\int_{a}^{-a} \sqrt{\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\left(1+\frac{b^2x^2}{a^4-a^2x^2}\right)}bx \; dx.[/tex3]

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[tex3]\int_2 xy ds=\int_{a}^{-a} \sqrt{\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\left(1+\frac{b^2x^2}{a^4-a^2x^2}\right)}bx \; dx.[/tex3]

Ou seja, [tex3]\int_1 xy ds =- \int_2 xy ds,[/tex3]

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[tex3]\int_1 xy ds =- \int_2 xy ds,[/tex3]

e portanto [tex3]\int_C xy \; ds = \int_1 xy \; ds + \int_2 xy \; ds=\boxed{0}[/tex3]

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[tex3]\int_C xy \; ds = \int_1 xy \; ds + \int_2 xy \; ds=\boxed{0}[/tex3]