Resposta
R: -(6m + 1) (1+m) (1 - m)^2
Ensino Fundamental ⇒ O algebrista Cápitulo 5 questão 70 Tópico resolvido
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Mar 2024
21
16:59
O algebrista Cápitulo 5 questão 70
Fatore completamente o polinômio 6m²(1 - m²) - 5m(1 - m²) + m² - 1
R: -(6m + 1) (1+m) (1 - m)^2
R: -(6m + 1) (1+m) (1 - m)^2
-
petras
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Mar 2024
21
17:56
Re: O algebrista Cápitulo 5 questão 70
bê1,
[tex3]6m²(1 - m²) - 5m(1 - m²) + m² - 1\\
6m^2(1-m^2)-5m(1-m^2)-(1-m^2)\\
(1-m^2)(6m^2-5m-1)\\
6m^2-5m-1=0 \implies m =1\ \vee m = -\frac{1}{6}\\
\therefore6(m-1)(m+\frac{1}{6}) =(m-1)(6m+1) \\
\therefore (1-m)(1+m)(m-1)(6m+1)=\\
(1-m)(1+m)(-(-m+1))(6m+1) \implies \boxed{-(1-m)^2(1+m)(6m+1)}[/tex3]
[tex3]6m²(1 - m²) - 5m(1 - m²) + m² - 1\\
6m^2(1-m^2)-5m(1-m^2)-(1-m^2)\\
(1-m^2)(6m^2-5m-1)\\
6m^2-5m-1=0 \implies m =1\ \vee m = -\frac{1}{6}\\
\therefore6(m-1)(m+\frac{1}{6}) =(m-1)(6m+1) \\
\therefore (1-m)(1+m)(m-1)(6m+1)=\\
(1-m)(1+m)(-(-m+1))(6m+1) \implies \boxed{-(1-m)^2(1+m)(6m+1)}[/tex3]
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Mar 2024
21
19:00
Re: O algebrista Cápitulo 5 questão 70
Não entendi muita coisa, poderia detalhar um pouco o seu raciocínio?petras escreveu: ↑21 Mar 2024, 17:56 bê1,
[tex3]6m²(1 - m²) - 5m(1 - m²) + m² - 1\\
6m^2(1-m^2)-5m(1-m^2)-(1-m^2)\\
(1-m^2)(6m^2-5m-1)\\
6m^2-5m-1=0 \implies m =1\ \vee m = -\frac{1}{6}\\
\therefore6(m-1)(m+\frac{1}{6}) =(m-1)(6m+1) \\
\therefore (1-m)(1+m)(m-1)(6m+1)=\\
(1-m)(1+m)-(-m+1)(6m+1) \implies \boxed{-(1-m)^2(1+m)(6m+1)}[/tex3]
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petras
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Mar 2024
21
19:05
Re: O algebrista Cápitulo 5 questão 70
bê1,
[tex3]m^2-1 = -(-m^2+1)[/tex3]
Coloquei em evidência esse termo
Forma fatorada da função de segundo grau ax^2+bx+c :
a(x-r_1)(x-r2) onde r1 e r2 são as raizes de ax2+bx+c=0
(m-1) = -(-m+1) e juntei os dois termo siguais
[tex3]m^2-1 = -(-m^2+1)[/tex3]
Coloquei em evidência esse termo
Forma fatorada da função de segundo grau ax^2+bx+c :
a(x-r_1)(x-r2) onde r1 e r2 são as raizes de ax2+bx+c=0
(m-1) = -(-m+1) e juntei os dois termo siguais
Editado pela última vez por petras em 21 Mar 2024, 19:07, em um total de 2 vezes.
Mar 2024
21
21:41
Re: O algebrista Cápitulo 5 questão 70
Olá Be, vou tentar te explicar de um modo mais detalhado
Temos o seguinte polinômio [tex3]6m^2(1-m^2)-5m(1-m^2)+m^2-1[/tex3] o primeiro pensamento de um aluno inexperiente em álgebra é tentar fazer a distributiva do [tex3]6m^2(1-m^2)[/tex3] e do [tex3]5m(1-m^2[/tex3] não faça isso!, você só vai complicar mais o problema perceba que [tex3]1-m^2[/tex3] é um termo comum em dois dos quatro termos, perceba que os termos que não tem [tex3]1-m^2[/tex3] é [tex3]m^2 e ~no -1[/tex3] que é uma pena porque se tivéssemos poderíamos colocar este termo em evidencia, seria um termo comum em todos os termos do polinômio
Mas veja bem, podemos transforma [tex3]m^2-1[/tex3] em [tex3]1-m^2[/tex3] que seria perfeito pois ai termos exatamente o termo [tex3]1-m^2[/tex3] em evidencia. Mas como fazermos isso? é muito simples basta colocarmos o termo -1 em evidencia
Observação: em qualquer termos podemos colocar o -1 em evidencia
Exemplos:[tex3]6x+2 = -1\cdot(-6x-2)[/tex3] perceba que se você fizer a distributiva do -1 a igualdade se mantém. ou seja o segredo dessa fatoração é bem simples, basta trocar o sinal de todos os termos é por o -1 multiplicando todos eles, ai não mudaremos nada so vamos reescrever o polinómio inicial de um jeito diferente que seja favorável a nos
Então vamos ter [tex3]6m^2(1-m^2)-5m(1-m^2)+m^2-1\Rightarrow 6m^2(1-m^2)-5m(1-m^2)-1(1-m^2)[/tex3]
agora é só por em evidencia o termo comum [tex3](1-m^2)(6m^2-5m-1)[/tex3] metade do trabalho ja foi, agora temos que fatorar essa expressão do segundo grau, para isso temos Varias maneiras. Bhaskara, Locikiano, Fatoração peruana, soma e produto, etc.
é interessante você conhecer cada uma dessa fatorações, vai lhe ajudar mt futuramente. quanto mais armas você tiver mais forte você fica na álgebra
Vou usar uma fatorção que meu mestre adora, não sei se possui nome mais é muito simples , multiplique o coeficiente de maior grau com o de menor grau [tex3]6m^2-5m-1[/tex3]
[tex3]Maior~Grau=6~~~menor ~grau=-1 ~~ Produto =-6[/tex3]
Faça o -6 aparecer no termo do meio com o grau do meio
Para fazermos isso, basta reescrevemos 5M de um forma diferente
[tex3]6m^2-5m-1[/tex3]
[tex3]\boxed{6m^2-6m+m-1}[/tex3] perceba que reescrevemos -5m como -6m +m que é a mesma coisa, so que agora podemos colocar 6m em evidencia
[tex3]6m^2-6m+m-1[/tex3]
[tex3](6m(m-1)+m-1)[/tex3] Coloque m-1 em evidencia
[tex3](m-1)(6m+1)[/tex3] pronto, matamos o problema so não esquece do primeiro termo que fatoramos antes
[tex3](1-m^2)(6m+1)(m-1)[/tex3] o problema ja está finalizado mas perceba um detalhe o [tex3]1-m^2[/tex3] pode ser fatorado, pois temos uma diferença de quadrado. Você tem que está treinado pra quando você ver a diferença fatorar na hora, é a fatoração mais recorrente da álgebra
Observe [tex3]1-m^2 \Rightarrow 1^2-m^2\Rightarrow \boxed{(1-m)(1+m)}[/tex3]
Lembre-se que [tex3] a^2-b^2= (a-b)(a+b)[/tex3]
então na fatoração ficou assim :[tex3](1-m^2)(6m+1)(m-1)\Rightarrow(1-m)(1+m)(6m+1)(1-m)[/tex3]
como temos uma multiplicação de (1-m) por (1-m) podemos colocar ao quadrado
[tex3](1-m)^2(1+m)(6m+1)[/tex3] Fim.
Temos o seguinte polinômio [tex3]6m^2(1-m^2)-5m(1-m^2)+m^2-1[/tex3] o primeiro pensamento de um aluno inexperiente em álgebra é tentar fazer a distributiva do [tex3]6m^2(1-m^2)[/tex3] e do [tex3]5m(1-m^2[/tex3] não faça isso!, você só vai complicar mais o problema perceba que [tex3]1-m^2[/tex3] é um termo comum em dois dos quatro termos, perceba que os termos que não tem [tex3]1-m^2[/tex3] é [tex3]m^2 e ~no -1[/tex3] que é uma pena porque se tivéssemos poderíamos colocar este termo em evidencia, seria um termo comum em todos os termos do polinômio
Mas veja bem, podemos transforma [tex3]m^2-1[/tex3] em [tex3]1-m^2[/tex3] que seria perfeito pois ai termos exatamente o termo [tex3]1-m^2[/tex3] em evidencia. Mas como fazermos isso? é muito simples basta colocarmos o termo -1 em evidencia
Observação: em qualquer termos podemos colocar o -1 em evidencia
Exemplos:[tex3]6x+2 = -1\cdot(-6x-2)[/tex3] perceba que se você fizer a distributiva do -1 a igualdade se mantém. ou seja o segredo dessa fatoração é bem simples, basta trocar o sinal de todos os termos é por o -1 multiplicando todos eles, ai não mudaremos nada so vamos reescrever o polinómio inicial de um jeito diferente que seja favorável a nos
Então vamos ter [tex3]6m^2(1-m^2)-5m(1-m^2)+m^2-1\Rightarrow 6m^2(1-m^2)-5m(1-m^2)-1(1-m^2)[/tex3]
agora é só por em evidencia o termo comum [tex3](1-m^2)(6m^2-5m-1)[/tex3] metade do trabalho ja foi, agora temos que fatorar essa expressão do segundo grau, para isso temos Varias maneiras. Bhaskara, Locikiano, Fatoração peruana, soma e produto, etc.
é interessante você conhecer cada uma dessa fatorações, vai lhe ajudar mt futuramente. quanto mais armas você tiver mais forte você fica na álgebra
Vou usar uma fatorção que meu mestre adora, não sei se possui nome mais é muito simples , multiplique o coeficiente de maior grau com o de menor grau [tex3]6m^2-5m-1[/tex3]
[tex3]Maior~Grau=6~~~menor ~grau=-1 ~~ Produto =-6[/tex3]
Faça o -6 aparecer no termo do meio com o grau do meio
Para fazermos isso, basta reescrevemos 5M de um forma diferente
[tex3]6m^2-5m-1[/tex3]
[tex3]\boxed{6m^2-6m+m-1}[/tex3] perceba que reescrevemos -5m como -6m +m que é a mesma coisa, so que agora podemos colocar 6m em evidencia
[tex3]6m^2-6m+m-1[/tex3]
[tex3](6m(m-1)+m-1)[/tex3] Coloque m-1 em evidencia
[tex3](m-1)(6m+1)[/tex3] pronto, matamos o problema so não esquece do primeiro termo que fatoramos antes
[tex3](1-m^2)(6m+1)(m-1)[/tex3] o problema ja está finalizado mas perceba um detalhe o [tex3]1-m^2[/tex3] pode ser fatorado, pois temos uma diferença de quadrado. Você tem que está treinado pra quando você ver a diferença fatorar na hora, é a fatoração mais recorrente da álgebra
Observe [tex3]1-m^2 \Rightarrow 1^2-m^2\Rightarrow \boxed{(1-m)(1+m)}[/tex3]
Lembre-se que [tex3] a^2-b^2= (a-b)(a+b)[/tex3]
então na fatoração ficou assim :[tex3](1-m^2)(6m+1)(m-1)\Rightarrow(1-m)(1+m)(6m+1)(1-m)[/tex3]
como temos uma multiplicação de (1-m) por (1-m) podemos colocar ao quadrado
[tex3](1-m)^2(1+m)(6m+1)[/tex3] Fim.
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