Ensino Fundamental

Mensagem não lidapor **Angelita** » 27 Jun 2017, 17:43 · Mensagem não lida por **Angelita** » 27 Jun 2017, 17:43

Em um triângulo retângulo ABC, reto em B, traça-se a ceviana interior BP, de tal maneira que: [tex3]\frac{BP}{5} = \frac{AP}{1} = \frac{PC}{7}[/tex3] , calcular a medida do ângulo BPC.
a)30°
b)37º
c)45º
d)53º
e)60º

Mensagem não lidapor **314159265** » 27 Jun 2017, 19:49 · Mensagem não lida por **314159265** » 27 Jun 2017, 19:49

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Lei dos cossenos:

[tex3]\overline{AB}^2=x^2+25x^2-10x^2cos(180º-\alpha)[/tex3]
[tex3]\overline{AB}^2=x^2+25x^2+10x^2cos\alpha[/tex3]

[tex3]\overline{BC}^2=25x^2+49x^2-70x^2cos\alpha[/tex3]

Pitágoras:

[tex3]x^2+25x^2+10x^2cos\alpha+25x^2+49x^2-70x^2cos\alpha=64x^2[/tex3]
[tex3]36x^2+10x^2cos\alpha-70x^2cos\alpha=0[/tex3]
[tex3]x^2(36-60cos\alpha)=0[/tex3]

Como eu sei que x é diferente de zero, então:

[tex3]36-60cos\alpha=0[/tex3]
[tex3]cos\alpha=\frac{36}{60}[/tex3]
[tex3]cos\alpha=\frac{6}{10}[/tex3]
[tex3]\alpha=arccos\frac{6}{10}=53º[/tex3]

Resposta: D

Mensagem não lidapor **Ittalo25** » 27 Jun 2017, 19:52 · Mensagem não lida por **Ittalo25** » 27 Jun 2017, 19:52

: reta.png (4.57 KiB) Exibido 1094 vezes

Lei dos cossenos em BPC;

[tex3]BC^{2} =25k^{2} +49k^{2} - 2 \cdot 5k \cdot 7k \cdot cos (x)[/tex3]
[tex3]BC^{2} =74k^{2} - 70k^{2} \cdot cos (x)[/tex3]

Lei dos cossenos em BPA;

[tex3]AB^{2} =25k^{2} +k^{2} - 2 \cdot 5k \cdot k \cdot cos (\pi - x)[/tex3]
[tex3]AB^{2} =26k^{2} + 10k^{2} \cdot cos ( x)[/tex3]

Somando as duas;

[tex3]BC^{2} +AB^{2}=26k^{2} + 10k^{2} \cdot cos ( x)+74k^{2} - 70k^{2} \cdot cos (x)[/tex3]
[tex3]AC^{2}=100k^{2} - 60k^{2} \cdot cos (x)[/tex3]
[tex3]64k^{2}=100k^{2} - 60k^{2} \cdot cos (x)[/tex3]
[tex3]\frac{36}{60}= cos (x)[/tex3]
[tex3]\frac{3}{5}= cos (x)[/tex3]
[tex3]x \approx 53^{o}[/tex3]

Mensagem não lidapor **petras** » 23 Jan 2022, 00:22 · Mensagem não lida por **petras** » 23 Jan 2022, 00:22

Ittalo25 escreveu: ↑27 Jun 2017, 19:52 Lei dos cossenos em BPC;

BC2=25k2+49k2−2⋅5k⋅7k⋅cos(x)BC2=25k2+49k2−2⋅5k⋅7k⋅cos(x)
BC2=74k2−70k2⋅cos(x)BC2=74k2−70k2⋅cos(x)

Lei dos cossenos em BPA;

AB2=25k2+k2−2⋅5k⋅k⋅cos(π−x)AB2=25k2+k2−2⋅5k⋅k⋅cos(π−x)
AB2=26k2+10k2⋅cos(x)AB2=26k2+10k2⋅cos(x)

Somando as duas;

BC2+AB2=26k2+10k2⋅cos(x)+74k2−70k2⋅cos(x)BC2+AB2=26k2+10k2⋅cos(x)+74k2−70k2⋅cos(x)
AC2=100k2−60k2⋅cos(x)AC2=100k2−60k2⋅cos(x)
64k2=100k2−60k2⋅cos(x)64k2=100k2−60k2⋅cos(x)
3660=cos(x)3660=cos(x)
35=cos(x)35=cos(x)
x≈53ox≈53o

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