Ensino Médio ⇒ Números complexos

[FISMAQUIM]

Considere o número complexo [tex3]z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i[/tex3]

e determine o valor do menor número natural n que torna o resultado da expressão z · [tex3]z^{2}[/tex3]

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[tex3]z^{2}[/tex3]

· [tex3]z^{3}[/tex3]

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[tex3]z^{3}[/tex3]

... · [tex3]z^{n}[/tex3]

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[tex3]z^{n}[/tex3]

um número real positivo.

[leozitz]

[tex3]z = r(\cos\theta + i\sin\theta)[/tex3]

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[tex3]z = r(\cos\theta + i\sin\theta)[/tex3]

[tex3]r\cos\theta = \frac{1}{2}\\
r\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

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[tex3]r\cos\theta = \frac{1}{2}\\
r\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

[tex3]r^2(cos^2\theta + \sin^2\theta) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4}[/tex3]

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[tex3]r^2(cos^2\theta + \sin^2\theta) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4}[/tex3]

[tex3]r = 1[/tex3]

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[tex3]r = 1[/tex3]

[tex3]\theta = 60º + 2k\pi[/tex3]

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[tex3]\theta = 60º + 2k\pi[/tex3]

[tex3]z\cdot z^2\cdot...\cdot z^n = z^{\frac{n(n+1)}{2}} [/tex3]

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[tex3]z\cdot z^2\cdot...\cdot z^n = z^{\frac{n(n+1)}{2}} [/tex3]

agora usa moivre e encontra o valor de n que faz a função seno zerar

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leozitz obrigado