Ensino Médio ⇒ (EN) Área Limitada pelos Gráficos Tópico resolvido

[vitorsl123]

A área da região limitada pelos gráficos das funções [tex3]y=\sqrt{9-x^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=\sqrt{9-x^{2}}[/tex3]

, [tex3]y=|x|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=|x|[/tex3]

, [tex3]y=\frac{3\sqrt{2}+2x}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=\frac{3\sqrt{2}+2x}{4}[/tex3]

é igual a:

A) 3√2/4 (3π - 2)
B) 3/4 (π -2)
C) 3/4 (π -2√2)
D) 3/4 (3π -2)
E) 3/4 (3π -2√2)

Resposta

---

3/4 (3π -2)

4 (3π -2√2)

[Cardoso1979]

Olá!

Amanhã vou encontrar um tempinho e resolver esta questão, agora estou em viagem, isso se ninguém resolver até lá.

[Cardoso1979]

Infelizmente depois de ter digitado tudo, apareceu um problema

[vitorsl123]

Infelizmente depois de ter digitado tudo, apareceu um problema

Tudo bem

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

O gráfico da função y = √( 9 - x² ) ⇔ x² + y² = 9
∧ y ≥ 0 é uma semicircunferência de centro ( 0 , 0 ) , raio 3 e acima do eixo x. Vamos determinar os pontos de intersecção dessas funções.

[tex3]\frac{3\sqrt{2}+2x}{4}=|x| ⇔ \begin{cases}
3\sqrt{2}+2x=4x ⇔ x=\frac{3\sqrt{2}}{2} \\
ou \\
3\sqrt{2}+2x=-4x⇔x=-\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3\sqrt{2}+2x}{4}=|x| ⇔ \begin{cases}
3\sqrt{2}+2x=4x ⇔ x=\frac{3\sqrt{2}}{2} \\
ou \\
3\sqrt{2}+2x=-4x⇔x=-\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{cases}[/tex3]

Ainda;

√( 9 - x² ) = | x | ⇔ 9 - x² = x² ⇔ x = [tex3]x=\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Assim, as três funções passam pelo ponto A = [tex3]\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

As funções y = √( 9 - x² ) e y = | x |, se intersectam também no ponto B =[tex3]\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

. As funções y = [tex3]\frac{3\sqrt{2}+2x}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3\sqrt{2}+2x}{4}[/tex3]

e y = | x |, se intersectam também no ponto C =[tex3]\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

Então;

15525708173412936462985354414894.jpg (43.67 KiB) Exibido 2474 vezes

A área sombreada é a região limitada pelos gráficos das três funções. A intersecção do gráfico da função y = | x | com o gráfico de y = √( 9 - x² ) é um setor circular de raio 3 e ângulo de 90° ( Note que as duas semirretas que compõem esse gráfico são bissetrizes dos quadrantes ). Para encontrarmos a área da região sombreada, basta subtrair da área desse setor, a área do triângulo retângulo AOC.
Precisamos, então, determinar OA e OC( calcular a distância entre dois pontos ), temos:

[tex3]A=\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) ⇒ OA=\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{2}+\frac{9}{2}}=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) ⇒ OA=\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{2}+\frac{9}{2}}=3[/tex3]

[tex3]C=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ⇒ OC=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ⇒ OC=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1[/tex3]

Portanto, a área sombreada é : [tex3]A=A_{
setor OAB}-A_{∆OAC}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=A_{
setor OAB}-A_{∆OAC}[/tex3]

[tex3]A=\frac{π.r^2}{4}-\frac{OC.OA}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\frac{π.r^2}{4}-\frac{OC.OA}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{π.3^2}{4}-\frac{1.3}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\frac{π.3^2}{4}-\frac{1.3}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{3.3π}{4}-\frac{3}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\frac{3.3π}{4}-\frac{3}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{3}{4}(3π-2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\frac{3}{4}(3π-2)[/tex3]

, alternativa D).


Ufa!!! Agora consegui enviar



Bons estudos!

[vitorsl123]

Observe

Solução:

O gráfico da função y = √( 9 - x² ) ⇔ x² + y² = 9
∧ y ≥ 0 é uma semicircunferência de centro ( 0 , 0 ) , raio 3 e acima do eixo x. Vamos determinar os pontos de intersecção dessas funções.

[tex3]\frac{3\sqrt{2}+2x}{4}=|x| ⇔ \begin{cases}
3\sqrt{2}+2x=4x ⇔ x=\frac{3\sqrt{2}}{2} \\
ou \\
3\sqrt{2}+2x=-4x⇔x=-\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\frac{3\sqrt{2}+2x}{4}=|x| ⇔ \begin{cases}
3\sqrt{2}+2x=4x ⇔ x=\frac{3\sqrt{2}}{2} \\
ou \\
3\sqrt{2}+2x=-4x⇔x=-\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{cases}[/tex3]

Ainda;

√( 9 - x² ) = | x | ⇔ 9 - x² = x² ⇔ x = [tex3]x=\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Assim, as três funções passam pelo ponto A = [tex3]\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

As funções y = √( 9 - x² ) e y = | x |, se intersectam também no ponto B =[tex3]\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

. As funções y = [tex3]\frac{3\sqrt{2}+2x}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3\sqrt{2}+2x}{4}[/tex3]

e y = | x |, se intersectam também no ponto C =[tex3]\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

Então;

15525708173412936462985354414894.jpg


A área sombreada é a região limitada pelos gráficos das três funções. A intersecção do gráfico da função y = | x | com o gráfico de y = √( 9 - x² ) é um setor circular de raio 3 e ângulo de 90° ( Note que as duas semirretas que compõem esse gráfico são bissetrizes dos quadrantes ). Para encontrarmos a área da região sombreada, basta subtrair da área desse setor, a área do triângulo retângulo AOC.
Precisamos, então, determinar OA e OC( calcular a distância entre dois pontos ), temos:

[tex3]A=\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) ⇒ OA=\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{2}+\frac{9}{2}}=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) ⇒ OA=\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{2}+\frac{9}{2}}=3[/tex3]

[tex3]C=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ⇒ OC=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1[/tex3]

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[tex3]C=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ⇒ OC=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1[/tex3]

Portanto, a área sombreada é : [tex3]A=A_{
setor OAB}-A_{∆OAC}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=A_{
setor OAB}-A_{∆OAC}[/tex3]

[tex3]A=\frac{π.r^2}{4}-\frac{OC.OA}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\frac{π.r^2}{4}-\frac{OC.OA}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{π.3^2}{4}-\frac{1.3}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\frac{π.3^2}{4}-\frac{1.3}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{3.3π}{4}-\frac{3}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\frac{3.3π}{4}-\frac{3}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{3}{4}(3π-2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\frac{3}{4}(3π-2)[/tex3]

, alternativa D).


Ufa!!! Agora consegui enviar



Bons estudos!

Amigo, não sei como poço agradecer

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

O gráfico da função y = √( 9 - x² ) ⇔ x² + y² = 9
∧ y ≥ 0 é uma semicircunferência de centro ( 0 , 0 ) , raio 3 e acima do eixo x. Vamos determinar os pontos de intersecção dessas funções.

[tex3]\frac{3\sqrt{2}+2x}{4}=|x| ⇔ \begin{cases}
3\sqrt{2}+2x=4x ⇔ x=\frac{3\sqrt{2}}{2} \\
ou \\
3\sqrt{2}+2x=-4x⇔x=-\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3\sqrt{2}+2x}{4}=|x| ⇔ \begin{cases}
3\sqrt{2}+2x=4x ⇔ x=\frac{3\sqrt{2}}{2} \\
ou \\
3\sqrt{2}+2x=-4x⇔x=-\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{cases}[/tex3]

Ainda;

√( 9 - x² ) = | x | ⇔ 9 - x² = x² ⇔ x = [tex3]x=\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]x=\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Assim, as três funções passam pelo ponto A = [tex3]\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

As funções y = √( 9 - x² ) e y = | x |, se intersectam também no ponto B =[tex3]\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

. As funções y = [tex3]\frac{3\sqrt{2}+2x}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3\sqrt{2}+2x}{4}[/tex3]

e y = | x |, se intersectam também no ponto C =[tex3]\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

Então;

15525708173412936462985354414894.jpg


A área sombreada é a região limitada pelos gráficos das três funções. A intersecção do gráfico da função y = | x | com o gráfico de y = √( 9 - x² ) é um setor circular de raio 3 e ângulo de 90° ( Note que as duas semirretas que compõem esse gráfico são bissetrizes dos quadrantes ). Para encontrarmos a área da região sombreada, basta subtrair da área desse setor, a área do triângulo retângulo AOC.
Precisamos, então, determinar OA e OC( calcular a distância entre dois pontos ), temos:

[tex3]A=\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) ⇒ OA=\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{2}+\frac{9}{2}}=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) ⇒ OA=\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{2}+\frac{9}{2}}=3[/tex3]

[tex3]C=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ⇒ OC=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1[/tex3]

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[tex3]C=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ⇒ OC=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1[/tex3]

Portanto, a área sombreada é : [tex3]A=A_{
setor OAB}-A_{∆OAC}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=A_{
setor OAB}-A_{∆OAC}[/tex3]

[tex3]A=\frac{π.r^2}{4}-\frac{OC.OA}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\frac{π.r^2}{4}-\frac{OC.OA}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{π.3^2}{4}-\frac{1.3}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\frac{π.3^2}{4}-\frac{1.3}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{3.3π}{4}-\frac{3}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\frac{3.3π}{4}-\frac{3}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{3}{4}(3π-2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\frac{3}{4}(3π-2)[/tex3]

, alternativa D).


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Bons estudos!

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