Ensino Médio

Mensagem não lidapor **snooplammer** » 20 Jan 2019, 22:12 · 20 Jan 2019, 22:12

Estava vendo uns vídeos no youtube e achei um de truque algébrico

Se [tex3]x^n+\frac{1}{x^n}=k[/tex3] então [tex3]x^n-\frac{1}{x^n}=\sqrt{k^2-4}[/tex3]
Alguém sabe uma demonstração?

Mensagem não lidapor **erihh3** » 20 Jan 2019, 23:01 · Mensagem não lida por **erihh3** » 20 Jan 2019, 23:01

[tex3]x^n+\frac{1}{x^n}=k[/tex3]

[tex3]x^n-\frac{1}{x^n}=A[/tex3]

Somando as duas expressões:

[tex3]2.x^n=k+A[/tex3]

[tex3]x^n=\frac{k+A}{2}[/tex3] (i)

Subtraindo-as

[tex3]2.\frac{1}{x^n}=k-A[/tex3]

[tex3]\frac{1}{x^n}=\frac{k-A}{2}[/tex3] (ii)

Multiplicando i e ii:

[tex3]\frac{1}{x^n}.x^n=\frac{(k-A)(k+A)}{4}[/tex3]

[tex3]4=k^2-A^2[/tex3]

[tex3]A=\pm\sqrt{k^2-4}[/tex3]

Obs: Veja que sem restrições o valor negativo também é possível. Se tomarmos x=0,5 e n=1, por exemplo, [tex3]x^n-\frac{1}{x^n}[/tex3] é negativo. Isso não poderia acontecer se apenas a solução positiva fosse permitida.

Veja que

0,5+2=2,5=k

0,5-2=-1,5=A

que bate com o resultado encontrado de [tex3]-\sqrt{k^2-4}[/tex3] também.

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