Ensino Médio ⇒ Progressão Aritmética e Bobinas

[Logica²]

Uma bobina de papel tem as dimensões indicadas na figura. Sendo [tex3]R_1=20 \text{cm}[/tex3]

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[tex3]R_1=20 \text{cm}[/tex3]

o raio do tubo onde o papel foi enrolado. Sabendo-se que a espessura do papel é de [tex3]5\text{mm},[/tex3]

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[tex3]5\text{mm},[/tex3]

calcule aproximademente o comprimento total do papel. Considere [tex3]\pi=3,14.[/tex3]

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[tex3]\pi=3,14.[/tex3]

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Só consegui resolver a metade dela porem não consegui encontrar o [tex3](a_n)[/tex3]

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[tex3](a_n)[/tex3]

e a razão.

[Thales Gheós]

AA4.png (55.61 KiB) Exibido 934 vezes

Introduzi cores na sua imagem simbolizando as voltas do papel na bobina. A primeira volta de papel na bobina tem um raio de [tex3]R_1\text{ cm}[/tex3]

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[tex3]R_1\text{ cm}[/tex3]

. A segunda volta terá um raio de [tex3]R_1+0,5[/tex3]

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[tex3]R_1+0,5[/tex3]

e assim por diante, crescendo na razão de [tex3]0,5 \text{ cm}[/tex3]

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[tex3]0,5 \text{ cm}[/tex3]

por volta.

Isso nos dá uma PA cujo primeiro têrmo é [tex3]a_1=R_1[/tex3]

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[tex3]a_1=R_1[/tex3]

e a razão [tex3]r=0,5[/tex3]

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[tex3]r=0,5[/tex3]

. Como [tex3]R_3=40[/tex3]

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[tex3]R_3=40[/tex3]

, podem ser dadas:

[tex3]n=\frac{40}{0,5}[/tex3]

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[tex3]n=\frac{40}{0,5}[/tex3]

ou [tex3]N=80[/tex3]

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[tex3]N=80[/tex3]

voltas aproximadamente. O comprimento de cada volta é dado pelo comprimento da circunferência correspondente:

[tex3]C=2\pi(R_1+0,5n)[/tex3]

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[tex3]C=2\pi(R_1+0,5n)[/tex3]

com [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

variando de [tex3]1[/tex3]

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[tex3]1[/tex3]

a [tex3]80[/tex3]

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[tex3]80[/tex3]

. Assim a nossa progressão terá como soma até [tex3]n=80[/tex3]

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[tex3]n=80[/tex3]

:

• [tex3]a_n=2\pi(a_1+(n-1)r)[/tex3]

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  [tex3]a_n=2\pi(a_1+(n-1)r)[/tex3]

  
  [tex3]S_n=2\pi\cdot \frac{a_1+a_n}{2}.n[/tex3]

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  [tex3]S_n=2\pi\cdot \frac{a_1+a_n}{2}.n[/tex3]

Substituindo [tex3]a_n[/tex3]

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[tex3]a_n[/tex3]

na expressão da soma:

• [tex3]S_n=2\pi\cdot \frac{a_1+a_1+(n-1)r)}{2}\cdot n \Rightarrow S_{\small{n}}=2\pi\cdot \frac{2a_1+(n-1)r)}{2}\cdot n\Rightarrow S_n=n\pi[2a_1+(n-1)r][/tex3]

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  [tex3]S_n=2\pi\cdot \frac{a_1+a_1+(n-1)r)}{2}\cdot n \Rightarrow S_{\small{n}}=2\pi\cdot \frac{2a_1+(n-1)r)}{2}\cdot n\Rightarrow S_n=n\pi[2a_1+(n-1)r][/tex3]

Dando os valores:

[tex3]S_n=80\cdot 3,14\cdot [2\cdot 20+(80-1)0,5]\Rightarrow S_n=19970,4 \text {cm ou 199,70 m}[/tex3]

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[tex3]S_n=80\cdot 3,14\cdot [2\cdot 20+(80-1)0,5]\Rightarrow S_n=19970,4 \text {cm ou 199,70 m}[/tex3]

[Logica²]

Opa Thales Gheós, Obrigado!