Ensino Médio ⇒ Geometria Plana - Área Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:17906)]

A figura abaixo mostra um triângulo equilátero de lado [tex3]1,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1,[/tex3]

um círculo inscrito, é um segmento círculo tangente a dois lados do triângulo e tangente exteriormente ao primeiro círculo:

Encontre a área da região sombreada por um lado do triângulo e pelos dois círculos.
a) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\pi}{324} -
\frac{\pi}{36}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\pi}{324} -
\frac{\pi}{36}.[/tex3]

b) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\pi}{324} -
\frac{\pi}{72}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\pi}{324} -
\frac{\pi}{72}.[/tex3]

c) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{27} - \frac{\pi}{324} -
\frac{\pi}{72}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt{3}}{27} - \frac{\pi}{324} -
\frac{\pi}{72}.[/tex3]

d) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{27} - \frac{\pi}{324} -
\frac{\pi}{36}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt{3}}{27} - \frac{\pi}{324} -
\frac{\pi}{36}.[/tex3]

e) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\pi}{162} -
\frac{\pi}{72}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\pi}{162} -
\frac{\pi}{72}.[/tex3]

[314159265]

O centro da circunferência maior é o baricentro do triângulo equilátero. Portanto temos que [tex3]R=\frac{1}{3}\times h[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R=\frac{1}{3}\times h[/tex3]

. Mas sabemos que a altura de um triângulo equilátero vale [tex3]\frac{l\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{l\sqrt{3}}{2}[/tex3]

. Como [tex3]l=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]l=1[/tex3]

, temos: [tex3]R=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt {3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt {3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}[/tex3]

. Se você traçar um segmento de reta horizontal no ponto de tangência entre os dois círculos, vai achar um outro pequeno triângulo equilátero. A partir dele dá pra encontrar o r (raio da circunferência menor), pois ele é justamente a terça parte da altura do triângulo pequeno. Sabendo R e r e desenhando a figura em anexo, acho que já dá pra você resolver sozinho.

[Hinani]

alguém poderia explicar de forma mais clara por favor?

[314159265]

Se você calcular a área do triângulo equilátero maior e substrair dela a área do círculo maior, vai achar um valor que é o somatório de 3 áreas iguais, certo? Então se você dividir por 3, vai achar o valor de uma dessas áreas. Vamos chamar esse valor de "x".

Aí agora você vai subtrair de "x" a área do triângulo equilátero menor, achando uma outra área "y" que é o somatório de 2 áreas iguais. Vamos dividir "y" por 2 para achar o valor "z". Guarde esse "z".

Tá vendo agora o triângulo equilátero menor? Se você subtrair da área dele a área do círculo menor, vai achar uma região que é o somatório de 3 áreas iguais, assim como feito anteriormente. Divida esse valor por 3 e ache a área "w".

Você concorda que se eu somar as áreas "z" e "w", vou encontrar a área da região pintada?

Coloquei um desenho em anexo pra facilitar a visualização.

[Tassandro]

Hinani,
viewtopic.php?f=1&t=84173&p=232814&hili ... ea#p232814

[314159265]

Tem outra forma de fazer também.

Conforme desenho em anexo, a área que você quer é:

Área pintada = Área do triângulo retângulo vermelho - Área do triângulo retângulo verde - Área do setor circular azul - Área do setor circular roxo.

Todos esses ângulos eu descobri sabendo que o ângulo interno do triângulo equilátero é 60° e que a altura dele é sua bissetriz, ou seja, divide o ângulo em 2 partes iguais. Se eu sei que é 90° no ponto de tangência e 30° lá em cima, logo o que sobrou é 60°.

Conseguiu entender?