Ensino Médio ⇒ Fatoração de Polinômios - Dúvida Conceitual

[RafaelNogueira]

Temos o seguinte polinômio:
[tex3]a^{6}-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{6}-1[/tex3]

Fazendo a seguinte manobra, chegamos até:
[tex3]a^{6}-a^{4}+a^{4}-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{6}-a^{4}+a^{4}-1[/tex3]

[tex3]a^{4}(a^{2} - 1)+a^{4}-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{4}(a^{2} - 1)+a^{4}-1[/tex3]

[tex3]a^{4}(a - 1)(a + 1)+a^{4}-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{4}(a - 1)(a + 1)+a^{4}-1[/tex3]

[tex3]a^{4}(a - 1)(a + 1)+(a^{2}-1)(a^{2}+1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{4}(a - 1)(a + 1)+(a^{2}-1)(a^{2}+1)[/tex3]

[tex3]a^{4}(a - 1)(a + 1)+(a-1)(a+1)(a^{2}+1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{4}(a - 1)(a + 1)+(a-1)(a+1)(a^{2}+1)[/tex3]

[tex3](a^{4}+a^{2}+1)(a - 1)(a + 1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a^{4}+a^{2}+1)(a - 1)(a + 1)[/tex3]

Depois da manobra é possível continuar a fatoração usando um do binômios como chave usando algum dispositivo?

Deixando bem claro que não tenho habilidade nenhuma com polinômios, só com fatoração de termos em evidência. Só quero saber de vale a pena me
aprofundar na teoria de polinômios, para facilitar a fatoração.

Se possível por favor deixe a fatoração abaixo, demonstrada com o dispositivo.

[PedroCunha]

Olá, RafaelNogueira.

Podemos fatorar mais um pouco da seguinte maneira:

[tex3]a^4 + a^2 + 1 = (a^4+2a^2+1) - (a^2) = (a^2+1)^2 - (a)^2 = (a^2+a+1) \cdot (a^2-a+1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^4 + a^2 + 1 = (a^4+2a^2+1) - (a^2) = (a^2+1)^2 - (a)^2 = (a^2+a+1) \cdot (a^2-a+1)[/tex3]

Acho que se aprofundar na teoria de polinômios vale a pena, mesmo que não te ajude muito na fatoração deles, embora pense que um conhecimento a mais de teoria possa ajudar a dar um 'clique' que às vezes falta em uma questão ou outra.

Abraço,
Pedro.

¹Uma outra maneira de fatorar a expressão inicial é:

[tex3]a^6 - 1 = (a^2)^3 - 1^3 = (a^2-1) \cdot (a^4 + a^2 + 1) = (a+1) \cdot (a-1) \cdot (a^2+a+1) \cdot (a^2-a+1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^6 - 1 = (a^2)^3 - 1^3 = (a^2-1) \cdot (a^4 + a^2 + 1) = (a+1) \cdot (a-1) \cdot (a^2+a+1) \cdot (a^2-a+1)[/tex3]