Ensino Médio ⇒ Racionalização Tópico resolvido

[undefinied3]

O denominador, racionalizado, de [tex3]\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}[/tex3]

é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 6

[LucasPinafi]

Temos:
[tex3]\omega = \frac{1}{\sqrt 2 + \sqrt[3] 2 + \sqrt[3] 4 } = \frac{1}{(\sqrt[3] 2 + \sqrt[3] 4) + \sqrt 2} = \frac{1}{\sqrt[3] 2(\sqrt[3] 2 + 1) + \sqrt 2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\omega = \frac{1}{\sqrt 2 + \sqrt[3] 2 + \sqrt[3] 4 } = \frac{1}{(\sqrt[3] 2 + \sqrt[3] 4) + \sqrt 2} = \frac{1}{\sqrt[3] 2(\sqrt[3] 2 + 1) + \sqrt 2}[/tex3]

[tex3]\omega = \frac{\sqrt[3] 2 (\sqrt[3] 2 + 1) - \sqrt 2}{\sqrt[3] 4 (\sqrt [3] 4 + 2\sqrt[3] 2+1)-2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\omega = \frac{\sqrt[3] 2 (\sqrt[3] 2 + 1) - \sqrt 2}{\sqrt[3] 4 (\sqrt [3] 4 + 2\sqrt[3] 2+1)-2}[/tex3]

Agora, vamos dar atenção a esse 'novo' denominador.
[tex3]\omega ' =\frac{A}{2\sqrt[3] 2 + 2 + \sqrt[3] 4} = \frac{A}{\sqrt[3] 2 +\sqrt[3] 4 + 1 +\sqrt [3] 2 + 1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\omega ' =\frac{A}{2\sqrt[3] 2 + 2 + \sqrt[3] 4} = \frac{A}{\sqrt[3] 2 +\sqrt[3] 4 + 1 +\sqrt [3] 2 + 1}[/tex3]

onde A é um número real. Lembrando que [tex3]a-b = (\sqrt[3] a - \sqrt[3] b ) (\sqrt[3] {a^2} + \sqrt[3] {ab} + \sqrt[3] {b^2})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a-b = (\sqrt[3] a - \sqrt[3] b ) (\sqrt[3] {a^2} + \sqrt[3] {ab} + \sqrt[3] {b^2})[/tex3]

, segue que:
[tex3]\omega ' = \frac{A}{\frac{2-1}{\sqrt[3] 2 -1}+ \sqrt[3] 2 + 1} = \frac{B}{(\sqrt[3] 4 - 1)+1}= \frac{B}{\sqrt[3] 4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\omega ' = \frac{A}{\frac{2-1}{\sqrt[3] 2 -1}+ \sqrt[3] 2 + 1} = \frac{B}{(\sqrt[3] 4 - 1)+1}= \frac{B}{\sqrt[3] 4}[/tex3]

Agora, é óbvio que será 2 u.u
Abraços.