Ensino Médio ⇒ Trigonometria Tópico resolvido

[ALDRIN]

Calcule o valor de

[tex3]y=cot\left[\frac{1}{4}arc sen \left(\frac{1}{3}\right)\right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=cot\left[\frac{1}{4}arc sen \left(\frac{1}{3}\right)\right][/tex3]

(A) [tex3]2\sqrt{6 + \sqrt2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\sqrt{6 + \sqrt2}[/tex3]

(B) [tex3]2\sqrt{6 + \sqrt2} - 2\sqrt2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\sqrt{6 + \sqrt2} - 2\sqrt2[/tex3]

(C) [tex3]2\sqrt{6 + \sqrt2} - 3\sqrt2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\sqrt{6 + \sqrt2} - 3\sqrt2[/tex3]

(D) [tex3]\sqrt{18 + 12\sqrt2} + 3 + 2\sqrt2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{18 + 12\sqrt2} + 3 + 2\sqrt2[/tex3]

(E) [tex3]\sqrt{17 + 12\sqrt2} + 3 + 2\sqrt2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{17 + 12\sqrt2} + 3 + 2\sqrt2[/tex3]

[jvmago]

essa é bem simples!

[tex3]y=cot(\frac{1}{4}*arcsen(\frac{1}{3}))[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=cot(\frac{1}{4}*arcsen(\frac{1}{3}))[/tex3]

[tex3]sen\theta=\frac{1}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen\theta=\frac{1}{3}[/tex3]

portanto pede-se [tex3]cot(\frac{\theta}{4})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cot(\frac{\theta}{4})[/tex3]

por identidade

[tex3]cot\theta=\frac{cot^2\frac{\theta}{2}-1}{2cot\frac{\theta}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cot\theta=\frac{cot^2\frac{\theta}{2}-1}{2cot\frac{\theta}{2}}[/tex3]

analogamente
[tex3]cot\frac{\theta}{2}=\frac{cot^2\frac{\theta}{4}-1}{2cot\frac{\theta}{4}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cot\frac{\theta}{2}=\frac{cot^2\frac{\theta}{4}-1}{2cot\frac{\theta}{4}}[/tex3]

[tex3]cot\frac{\theta}{2}=\frac{y^2-1}{2y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cot\frac{\theta}{2}=\frac{y^2-1}{2y}[/tex3]

agora é braço

[tex3]cot\theta=2\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cot\theta=2\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]cot\theta=\frac{cot^2\frac{\theta}{2}-1}{2cot\frac{\theta}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cot\theta=\frac{cot^2\frac{\theta}{2}-1}{2cot\frac{\theta}{2}}[/tex3]

[tex3]2\sqrt{2}=\frac{cot^2\frac{\theta}{2}-1}{2cot\frac{\theta}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\sqrt{2}=\frac{cot^2\frac{\theta}{2}-1}{2cot\frac{\theta}{2}}[/tex3]

[tex3]x^2-4\sqrt{2}x-1=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2-4\sqrt{2}x-1=0[/tex3]

[tex3]x=\frac{4\sqrt{2}+-\sqrt{32+4}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\frac{4\sqrt{2}+-\sqrt{32+4}}{2}[/tex3]

como [tex3]0<\theta<90[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0<\theta<90[/tex3]

[tex3]x=\frac{4\sqrt{2}+6}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\frac{4\sqrt{2}+6}{2}[/tex3]

[tex3]x=2\sqrt{2}+3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=2\sqrt{2}+3[/tex3]

[tex3]x=\frac{y^2-1}{2y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\frac{y^2-1}{2y}[/tex3]

[tex3]y^2-(2\sqrt{2}+3)y-1=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y^2-(2\sqrt{2}+3)y-1=0[/tex3]

[tex3]y=\frac{2\sqrt{2}+2+-\sqrt{11+12\sqrt{2}+4}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=\frac{2\sqrt{2}+2+-\sqrt{11+12\sqrt{2}+4}}{2}[/tex3]

[tex3]y=\frac{2\sqrt{2}+2+-\sqrt{15+12\sqrt{2}}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=\frac{2\sqrt{2}+2+-\sqrt{15+12\sqrt{2}}}{2}[/tex3]

[petras]

[tex3]
\sen\alpha=\dfrac{1}{3}\Longrightarrow \cos\alpha=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\Longrightarrow \cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}{2}}\\
y=\cot\left(\dfrac{1}{4}\arcsen\left(\dfrac{1}{3}\right)\right)=\dfrac{1}{\tan\left(\dfrac{\alpha}{4}\right)}=\dfrac{1}{\tan\left(\dfrac{\alpha /2}{2}\right)}=\dfrac{\sqrt{1+\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}}{\sqrt{1-\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}}=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}{2}}}{1-\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}{2}}}}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{6}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}}}=\\\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{3-2\sqrt{2}}}=\left(\sqrt{6}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)\sqrt{3-2\sqrt{2}}(3+2\sqrt{2})=(\sqrt{6}\sqrt{3-2\sqrt{2}}+1)(3+2\sqrt{2})=\sqrt{6}\sqrt{3-2\sqrt{2}}(3+2\sqrt{2})+3+2\sqrt{2}=\sqrt{6}\sqrt{3+2\sqrt{2}}+3+2\sqrt{2}=\\\boxed{\sqrt{18+12\sqrt{2}}+3+2\sqrt{2}}

[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]
\sen\alpha=\dfrac{1}{3}\Longrightarrow \cos\alpha=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\Longrightarrow \cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}{2}}\\
y=\cot\left(\dfrac{1}{4}\arcsen\left(\dfrac{1}{3}\right)\right)=\dfrac{1}{\tan\left(\dfrac{\alpha}{4}\right)}=\dfrac{1}{\tan\left(\dfrac{\alpha /2}{2}\right)}=\dfrac{\sqrt{1+\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}}{\sqrt{1-\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}}=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}{2}}}{1-\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}{2}}}}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{6}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}}}=\\\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{3-2\sqrt{2}}}=\left(\sqrt{6}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)\sqrt{3-2\sqrt{2}}(3+2\sqrt{2})=(\sqrt{6}\sqrt{3-2\sqrt{2}}+1)(3+2\sqrt{2})=\sqrt{6}\sqrt{3-2\sqrt{2}}(3+2\sqrt{2})+3+2\sqrt{2}=\sqrt{6}\sqrt{3+2\sqrt{2}}+3+2\sqrt{2}=\\\boxed{\sqrt{18+12\sqrt{2}}+3+2\sqrt{2}}

[/tex3]

(Solução:AniPascual)