14. Suponha que f(x) é definida nos reais x e f(x)>0 para todo x. Se
f(a)f(b)= f(a+b) para todos os a e b, determine quais das opções
abaixo são verdadeiras:
I. 𝑓(0) = 1
II. 𝑓(−𝑎) =1/𝑓(𝑎), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑎
III. 𝑓(𝑎) = ^3√𝑓(3𝑎) , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑎( a raiz esta no f e no (3a))
IV. 𝑓(𝑏) > 𝑓(𝑎) 𝑠𝑒 𝑏 > 𝑎 .
Resposta
I, II, III
estou tendo mt dificuldade com esse tipo de questão pq n estou sabendo como avançar
, então podemos substituir isso na equação anterior para chegar que [tex3]f(a)\cdot [f(a)]^{2}=f(3a) \Rightarrow [f(a)]^{3}=f(3a) \Rightarrow f(a)= \sqrt[3]{f(3a)}[/tex3]
Vejamos por fim a IV, que é um pouco diferente das anteriores. Caso não tenha notado, todas as propriedades anteriores são bastante semelhantes às propriedades das funções exponenciais (isso não é por acaso, na verdade). Podemos provar que IV é falsa usando essa ideia. A afirmação IV diz que a função f é estritamente crescente, mas se você fizer uma comparação, irá lembrar que nem toda função exponencial é estritamente crescente.
Ou seja, podemos tomar por exemplo a função [tex3]f(x)=(0,5)^{x}[/tex3]
, mas ela não é estritamente crescente! Isso mostra que as hipóteses do enunciado não garantem que a função f será sempre estritamente crescente como IV afirma. Logo IV é falsa.
Editado pela última vez por ProfLaplace em 17 Mar 2024, 12:30, em um total de 2 vezes.