Ensino Médio

Mensagem não lidapor **geobson** » 03 Set 2023, 09:06 · Mensagem não lida por **geobson** » 03 Set 2023, 09:06

A partir de um ponto P interior a um triângulo ABC traçam- se paralelas a seus lados , como se mostra na figura . Demonstre que :

[tex3]\frac{a’}{a}[/tex3] + [tex3]\frac{b’}{b}[/tex3] + [tex3]\frac{c’}{c}[/tex3] = 2

Mensagem não lidapor **παθμ** » 03 Set 2023, 13:08 · Mensagem não lida por **παθμ** » 03 Set 2023, 13:08

geobson, sejam [tex3]d_a[/tex3] , [tex3]d_b[/tex3] e [tex3]d_c[/tex3] as distâncias do ponto P aos lados de medidas [tex3]a[/tex3] , [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] respectivamente. Sejam também [tex3]h_i[/tex3] as alturas do triângulo ABC relativas a esses lados.
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Lema: [tex3]\frac{d_a}{h_a}+\frac{d_b}{h_b}+\frac{d_c}{h_c}=1[/tex3]

Prova: Divida o triângulo [tex3]\Delta ABC[/tex3] em três triângulos, como mostra a figura abaixo:

: image - 2023-09-03T130335.963.png (63.84 KiB) Exibido 181 vezes

Sua área é, então: [tex3]\frac{ah_a}{2}=\frac{ad_a}{2}+\frac{b d_b}{2}+\frac{c d_c}{2} \Longrightarrow \frac{d_a}{h_a}+\frac{b d_b}{a h_a}+\frac{c d_c}{a h_a}=1[/tex3]

Usando então que [tex3]ah_a=bh_b=ch_c[/tex3] , obtemos [tex3]\frac{d_a}{h_a}+\frac{d_b}{h_b}+\frac{d_c}{h_c}=1[/tex3] , cqd.
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Veja que, por semelhança de triângulos, temos [tex3]\frac{h_a-d_a}{a'}=\frac{h_a}{a} \Longrightarrow \frac{a'}{a}=1-\frac{d_a}{h_a}[/tex3] .

Analogamente para os outros lados, obtemos [tex3]\frac{b'}{b}=1-\frac{d_b}{h_b}[/tex3] e [tex3]\frac{c'}{c}=1-\frac{d_c}{h_c}[/tex3] .

Somando essas três equações obtemos [tex3]\frac{a'}{a}+\frac{b'}{b}+\frac{c'}{c}=3-\left(\frac{d_a}{h_a}+\frac{d_b}{h_b}+\frac{d_c}{h_c}\right)=2[/tex3] , C.Q.D

Mensagem não lidapor **geobson** » 03 Set 2023, 13:16 · Mensagem não lida por **geobson** » 03 Set 2023, 13:16

παθμ, obrigado!

Ensino Médio ⇒ Demonstração em um triângulo qualquer. Tópico resolvido

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