Ensino Médio ⇒ Circunferência Tópico resolvido

[botelho]

Calcular [tex3]\frac{R2+R3}{R1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{R2+R3}{R1}[/tex3]

.

IMG-20220928-WA0013.jpg (60.85 KiB) Exibido 304 vezes

a)[tex3]\sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{5}[/tex3]

b)[tex3]\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex3]

c)[tex3]\sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{5}[/tex3]

-1
d)[tex3]\frac{\sqrt{5}-1}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{5}-1}{4}[/tex3]

e)2([tex3]\sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{5}[/tex3]

-1)

Resposta

---

c

[botelho]

...............up..........

[petras]

botelho,

[tex3]Ap= \frac{R(1+\sqrt5)}{4}\\
R_2=R_3\\
R=OO′+R_2 (1)\\
R=R_2+R_1 (2)\\
OO′=apótemaR_1+apótemaR_2=\frac{2R_2(1+\sqrt5)}{4}=\frac{R_2(1+\sqrt5)}{2}\\
Substituindo~e~ igualando (1) e (2):\\
\frac{R_2(1+\sqrt5)}{2}+R_2=R_2+R_1⟹\\
\frac{R_2(1+\sqrt5)}{2}=R_1⟹\\
\frac{R_2+R_3}{R_1}=\frac{2R_2}{\frac{R_2(1+\sqrt5)}{2}}=\frac{4}{1+\sqrt5}=\\
\frac{4(\sqrt5−1)}{4}=\boxed{\sqrt5−1}[/tex3]

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[tex3]Ap= \frac{R(1+\sqrt5)}{4}\\
R_2=R_3\\
R=OO′+R_2 (1)\\
R=R_2+R_1 (2)\\
OO′=apótemaR_1+apótemaR_2=\frac{2R_2(1+\sqrt5)}{4}=\frac{R_2(1+\sqrt5)}{2}\\
Substituindo~e~ igualando (1) e (2):\\
\frac{R_2(1+\sqrt5)}{2}+R_2=R_2+R_1⟹\\
\frac{R_2(1+\sqrt5)}{2}=R_1⟹\\
\frac{R_2+R_3}{R_1}=\frac{2R_2}{\frac{R_2(1+\sqrt5)}{2}}=\frac{4}{1+\sqrt5}=\\
\frac{4(\sqrt5−1)}{4}=\boxed{\sqrt5−1}[/tex3]

(Solução:Pie)

[petras]

botelho,
Outra resolução
N.ouro(razão aúrea) = [tex3]\Phi =\frac{\sqrt5+1}{2}[/tex3]

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[tex3]\Phi =\frac{\sqrt5+1}{2}[/tex3]

:a razão do raio do círculo de um decágono regular para um dos lados é a razão áurea.
[tex3]
\triangle FHG \sim \triangle IJA\\
\frac{R_ 3}{FG}=\frac{R_ 1}{AI} \implies R_ 1=\frac{R_ 3⋅AI}{FG}\\
\frac{\frac{FG}{2}}{R_3}=\frac{\frac{FG}{2}}{R_2}\implies R_2=R_3. \\
\therefore \frac{R_ 2+R_ 3}{R_ 1}=\frac{2R_ 3}{\frac{R_ 3⋅AI}{FG}}=\frac{2}{\frac{AI}{FG}}=\frac{2}{Φ}=\frac{2}{\frac{\sqrt5+1}{2}}=\boxed{\sqrt5−1}[/tex3]

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[tex3]
\triangle FHG \sim \triangle IJA\\
\frac{R_ 3}{FG}=\frac{R_ 1}{AI} \implies R_ 1=\frac{R_ 3⋅AI}{FG}\\
\frac{\frac{FG}{2}}{R_3}=\frac{\frac{FG}{2}}{R_2}\implies R_2=R_3. \\
\therefore \frac{R_ 2+R_ 3}{R_ 1}=\frac{2R_ 3}{\frac{R_ 3⋅AI}{FG}}=\frac{2}{\frac{AI}{FG}}=\frac{2}{Φ}=\frac{2}{\frac{\sqrt5+1}{2}}=\boxed{\sqrt5−1}[/tex3]

(Solução:Anipascual-adaptada)