Ensino Médio ⇒ Inequação Tópico resolvido

[AnaBela]

Como resolvo estas inequações: a) (x+1)(2-x)[tex3]\geq[/tex3]

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[tex3]\geq[/tex3]

(x+1)x
b) [tex3]\frac{x+1}{x}[/tex3]

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[tex3]\frac{x+1}{x}[/tex3]

> [tex3]\frac{-3}{x}[/tex3]

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[tex3]\frac{-3}{x}[/tex3]

c) [tex3]\frac{x+1}{x}[/tex3]

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[tex3]\frac{x+1}{x}[/tex3]

> 2

[Cientista]

Por favor, poste questão por questão.

[Cientista]

Olá(De novo) AnaBela,
Vou resolver apenas 2, o último vou deixar para que faças pois é a mesma coisa, certo? . Então, vamos pegar o primeiro que vemos que ele está na forma factorizada, então podemos trabalhar com ele nessa forma, ou podemos desenvolver, o melhor é desenvolver e ver no que dá e depois usaremos o Método de análise gráfico que rapidamente chegaremos a solução, assim teremos:

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[tex3](x-1).(2-x)\geq (x+1).x[/tex3]

(Desenvolvendo (x-1).(2-x))

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[tex3]-x^{2}+2x-2\geq x^{2}+x[/tex3]

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[tex3]-2x^{2}+x-2\geq 0[/tex3]

. Logo, se fizermos pelo Método de análise gráfico é fácil vermos que a parábola estará posicionada para baixo, devido ao sinal do coeficiente dominante( é negativo, isto é, a<0) e se formos a calcular as raízes teremos um discriminante negativo, logo outra facto é que essa parábola não tocará o eixo dos x(abcissar, também dita o eixo das raízes). Logo concluímos que,

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[tex3]x\in\emptyset[/tex3]

, pois

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[tex3]\Delta =-15;x_{1,2}=\frac{1\pm 15i}{4}[/tex3]

, estaremos a trabalhar com números complexos/imaginários que já é outro nível, o nosso domínio aqui é o conjunto de número REAIS- Conjunto [tex3]\mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\mathbb{R}[/tex3]

.
Agora para a segunda, trata-se de inequações de quociente algébrico, isto é, inequações que tem incógnitas como sendo denominadores, que para aqui temos que estabelecer certas condições, ou seja, analisar o produto das raízes. Uma forma de ver isso é primeiro desenvolvermos, passando o segundo termo para o outro lado e mantendo os denominadores x, uma vez que são os mesmos teremos:

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[tex3]\frac{x+4}{x}>0[/tex3]

. Logo a pergunta que você deve fazer aqui é a seguinte: Para que o produto de alguma coisa(podem ser valores, números, incógnitas, etc...) seja positivo, os seus sinais devem ser oque? É isso, devem ser os mesmos!!!. Repara se eu tenho (-3).(-3)=+9(positivo, maior que 0) se eu tenho (+3).(+6)=+18( positivo, maior que 0). Agora se a desigualidade estivesse posicionada para o sentido inverso, a pergunta seria a mesma, Para o produto de alguma coisa seja negativo( menor que 0 neste caso), os sinais devem ser oque? É isso mesmo, devem ser simétricos(contrários/diferentes/opostos). Repara se eu tenho (-3).(+4)=-12, se eu tenho (+4).(-5)=-20(todos eles negativos, ou seja, menores que 0). O mesmo vamos aplicar neste caso, mas ao invés de trabalharmos com sinais, trabalharemos com desigualidade, vamos apenas ver o sentido, no nosso caso ele é positivo, com base no que falamos os sinais serão os mesmos, mas como dissemos aqui tratamos de desigualidade, então o sentido das desigualidades será o mesmo, os dois irão para frente, ou os 2 irão para trás. Assim teremos:

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[tex3]\begin{cases}
x+4>0\rightarrow x>-4\tex \\
x>0\rightarrow x>0
\end{cases}[/tex3]

União com:

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[tex3]\begin{cases}
x<4\rightarrow x<-4 \\
x<0\rightarrow x<0
\end{cases}[/tex3]

. Logo fazemos a intersecção do primeiro, o segundo também depois juntamos as soluções, usando intervalos numéricos ou o método de "Jogo de sinais" como é chamado por vocês aí em Brasil(achei engraçado o nome ). Logo concluímos que:

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[tex3]\boxed{Sol:x\in \mathbb{R}|x<-4\vee x>0}[/tex3]

.
Espero ter ajudado.

[AnaBela]

Ajudou sim' consegui resolver a terceira questão'
só esta primeira que ainda estou na dúvida pois, a solução aqui está dizendo que: "fazendo o produto dos sinais de x + 1 e 1 − x, obtemos S=[-1,1].'' ai não entendi :/

[Cientista]

Que exercício te referes?

[AnaBela]

me refiro a letra a) (x+1)(2-x)[tex3]\geq[/tex3]

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[tex3]\geq[/tex3]

(x+1)x , no gabarito a solução = [-1,1], fazendo o produto dos sinais de x + 1 e 1 − x. Ai não entendi o porque :/

[Cientista]

AnaBela, não é 1-x, é 2-x, por isso estava em dúvida, tentando ver afinal onde está o 1-x, é 2-x, o produto (x+1).(1-x), basta fazer distribuição, terás x.1-x.x+1.1-x.1=x-x²+1-x=-x²+x+1. Você postou com 2-x, se quer saber o produto basta fazer o mesmo, isto é, (x+1).(2-x)=x.2-x.x+1.2-x.1=2x-x²+2-x=-x²+2x+2. Se for como você digitou, com 1-x, teremos -x²+1>/x²+x --> -x²-x²+1-x>/0 --> -2x²-x+1>/0 Aqui vamos apanhar o delta como sendo 9, e as suas raízes serão -1 e 1/2, Como eles pedem valores positivos, você aí deve saber o método gráfico que acharás a solução facilmente, a solução será no intervalo entre -1<x<1/2 ou Sol: [-1;1/2]. Nesse caso não usamos o produto de sinais, como havia dito isso usamos apenas nas situações abaixo.
Espero ter ajudado.