[tex3]a=bq+q^3 \Longrightarrow a=q(b+q^2).[/tex3]
Precisamos analisar os valores de [tex3]q[/tex3]
caso a caso. Note que sempre devemos ter [tex3]b>q^3.[/tex3]
Caso q=1: [tex3]a=b+1.[/tex3]
Nesse caso, o único valor permitido de [tex3]b[/tex3]
é [tex3]99[/tex3]
, já que [tex3]a<100[/tex3]
para todos os outros valores. Contamos 1 número raro para esse caso (o número 100).
Caso q=2: [tex3]a=2(b+4).[/tex3]
Para que [tex3]a \geq 100,[/tex3]
devemos ter [tex3]2(b+4) \geq 100 \Longrightarrow b \geq 46.[/tex3]
Lembrando que [tex3]b \leq 99,[/tex3]
há [tex3]99-46+1=54[/tex3]
valores possíveis de [tex3]b.[/tex3]
Porém, [tex3]a=100[/tex3]
resulta de [tex3]b=46[/tex3]
nesse caso, e esse número raro já foi contado. Então, até o momento, nosso contador é [tex3]54-1=53.[/tex3]
Caso q=3: [tex3]a=3(b+9).[/tex3]
Devemos ter [tex3]b>3^3 \Longrightarrow b \geq 28.[/tex3]
Isso já garante que [tex3]a \geq 100.[/tex3]
Então, com [tex3]28 \leq b \leq 99,[/tex3]
temos [tex3]99-28+1=72[/tex3]
valores possíveis de [tex3]b[/tex3]
para esse caso. Mas agora precisamos determinar quantos valores de [tex3]a[/tex3]
estamos contando aqui que já foram contados anteriormente (mais especificamente no caso q=2).
No presente caso, veja que estamos contando todos os múltiplos de 3 de [tex3]111[/tex3]
até [tex3]324.[/tex3]
No caso q=2, nós contamos alguns desses números. A primeira condição para isso ter ocorrido é [tex3]2(b+4) \equiv 0 \pmod{3} \Longrightarrow b+4 \equiv 0 \Longrightarrow b \equiv 2 \pmod{3},[/tex3]
então isso ocorreu para valores de b da forma [tex3]b=3k+2.[/tex3]
No caso 2, o menor valor de [tex3]k,[/tex3]
tal como definido acima, para que tenhamos [tex3]a \geq 111[/tex3]
é [tex3]k=17.[/tex3]
Ademais, o maior valor de [tex3]k[/tex3]
para o qual temos [tex3]b \leq 99[/tex3]
é [tex3]k=32[/tex3]
(para o qual temos [tex3]a=204[/tex3]
). Ou seja, os valors de [tex3]b[/tex3]
no caso q=2 para o qual nós contamos números que estão contidos no caso 3 são [tex3]3 \times 17+2, \; 3 \times 18+2, \; 3 \times 19+2, \; ..., \; 3 \times 32+2.[/tex3]
Ou seja, são [tex3]32-17+1=16[/tex3]
valores de [tex3]b,[/tex3]
implicando em [tex3]16[/tex3]
valores de [tex3]a[/tex3]
que são comuns aos casos q=2 e q=3.
Por isso, nosso contador até o momento é [tex3]53+(72-16)=109.[/tex3]
Caso q=4: [tex3]a=4(b+64).[/tex3]
Devemos ter [tex3]b \geq 65[/tex3]
e [tex3]b \leq 99,[/tex3]
o que resulta em [tex3]99-65+1=35[/tex3]
valores de [tex3]a.[/tex3]
Felizmente, para todos os valores de [tex3]b[/tex3]
permitidos no caso q=4, os valores de [tex3]a[/tex3]
são maiores do que todos os contados anteriormente, então não precisamos nos preocupar com repetições.
Para os casos [tex3]q \geq 5,[/tex3]
precisaríamos ter [tex3]b >125,[/tex3]
absurdo.
A quantidade de números raros é, então: [tex3]109+35=\boxed{144}[/tex3]
Seu gabarito está incorreto. Eu até fiz um programa bem simples em Python para verificar minha resposta, e o output do programa é 144:
Código: Selecionar todos
contador=0
for a in range(100, 1000):
for b in range(10, 100):
r=a%b
q=int(a/b)
if r==q**3:
contador+=1
break
print(contador)