Olimpíadas ⇒ Equação Diofantina

[Matheusp60]

Encontre todas as soluções de [tex3]999x − 49y = 5000.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]999x − 49y = 5000.[/tex3]

[Xablauu]

Como mdc(999,49) = 1, podemos fazer os seguintes passos:

Analisando módulo 49 a equação:
[tex3]999x\equiv19x\equiv 5000\equiv2(mod\:49)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]999x\equiv19x\equiv 5000\equiv2(mod\:49)[/tex3]

Assim, [tex3]x\equiv13(mod49)[/tex3]

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[tex3]x\equiv13(mod49)[/tex3]

Analisando módulo 999 a equação:
[tex3]-49y\equiv5000\equiv5(mod\:999)[/tex3]

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[tex3]-49y\equiv5000\equiv5(mod\:999)[/tex3]

Assim, [tex3]y\equiv163(mod\:999)[/tex3]

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[tex3]y\equiv163(mod\:999)[/tex3]

Passa achar esses inversos multiplicativos em congruências, tem como usar a ideia do algorítimo de Euclides, dá um Google que você acha em inglês.

Desse modo, podemos escrever que:
[tex3]x=49k+13\:,\: k\:inteiro\\y=999k'+163\:,\: k'\:inteiro[/tex3]

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[tex3]x=49k+13\:,\: k\:inteiro\\y=999k'+163\:,\: k'\:inteiro[/tex3]

Substituindo na equação,
[tex3]999x-49y=5000=999(49k+13)-49(999k'+163)\\48951(k-k')+(999.13-49.163)=5000\\48951(k-k')+5000=5000\:...\:48951(k-k')=0\\k=k'\\...\\x=49k+13\\e\\y=999k+163\\k\:inteiro [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]999x-49y=5000=999(49k+13)-49(999k'+163)\\48951(k-k')+(999.13-49.163)=5000\\48951(k-k')+5000=5000\:...\:48951(k-k')=0\\k=k'\\...\\x=49k+13\\e\\y=999k+163\\k\:inteiro [/tex3]