Olimpíadas ⇒ OBM-2018 Questão 2 N2 Tópico resolvido

[GabrielOBM]

2- Uma quádrupla (A,B,C,D) é dita dobarulho quando A, B e C são algarismos não nulos e D é um inteiro positivo tais que:
1. A menor igual a 8
2. D maior que 1
3. D divide os seis números de três algarismos ABC, BCA, CAB, (A+1)CB, CB(A+1) e B(A+1)C, onde 123 A=1, B=2, C=3.

[LucasOBM]

Solução: Considere algumas propriedades básicas da divisibilidade e mod:
* a, b, c, x, y são inteiros
i) a| b e a|c => a|bx+cy para todos os x, y.
ii) Se b==c mod a <=> a|b-c
iii) Se mdc(a, c)=1 e a|bc => a|b


D| (A+1)CB+CB(A+1)+B(A+1)C-ABC-BCA-CAB = 111
=> D={1, 3, 37, 111}
* 1 é inválido pelo enunciado
* 3, 111 também são inválidos:
Suponha que D vale 3 ou 111 => 3|D|ABC e 3|D|(A+1)CB
=> 3|(A+1)CB-ABC=100+9(C-B), mas 3|9(C-B) => 3|100, o que claramente é falso.
Dessa maneira, a única possibilidade para D é 37.
37| (A+1)CB-ABC=100+9(C-B) ==0==370 mod 37
=> 37| 9(C-B)-270=9(C-B-30), como mdc(9, 37)=1, temos que 37|C-B-30 => C-B==-7 mod 37, mas 9≥C>C-B≥-8 => C-B=-7 => B=C+7 (**)

D| B(A+1)C-BCA=9(A-C)+10==0 mod 37
=> 37|9(A-C-3), mas mdc(37, 9) => 37| A-C-3, pelo argumento análogo ao anterior, temos que A-C=3 => A=C+3 (***)

Por fim, 9≥C+7≥8 => 2≥C≥1.

As quádruplas ordenadas são: (A, B, C, D)=(4, 8, 1, 37) e (5, 9, 2, 37).


Obs: É importante verificar que as soluções são válidas na hora de uma prova, por exemplo.

[GabrielOBM]

Aí, fiz caca na OBM, cheguei tão perto, só n considerei um negócio .