(Bulgária - 2011) - Estude! Com Prof. Caju

futuromilitar · 2016-06-03T14:55:37-03:00

Existe matriz real A_{3,3} tal que tr(A) = 0 e A^{2} + A^{t} = I ?

Olimpíadas ⇒ (Bulgária - 2011) Tópico resolvido

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Jun 2016 03 14:55

(Bulgária - 2011)

Mensagem não lidapor futuromilitar » 03 Jun 2016, 14:55

Mensagem não lida por futuromilitar » 03 Jun 2016, 14:55

Existe matriz real [tex3]A_{3,3}[/tex3] tal que tr(A) = 0 e [tex3]A^{2} + A^{t}[/tex3] = $I$ ?

Editado pela última vez por futuromilitar em 03 Jun 2016, 14:55, em um total de 1 vez.

''Se você perdeu dinheiro, perdeu pouco. Se perdeu a honra, perdeu muito. Se perdeu a coragem, perdeu tudo.'' (Van Gogh)

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Jun 2016 10 18:20

Re: (Bulgária - 2011)

Mensagem não lidapor futuromilitar » 10 Jun 2016, 18:20

Mensagem não lida por futuromilitar » 10 Jun 2016, 18:20

''Se você perdeu dinheiro, perdeu pouco. Se perdeu a honra, perdeu muito. Se perdeu a coragem, perdeu tudo.'' (Van Gogh)

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Ago 2016 24 18:13

Re: (Bulgária - 2011)

Mensagem não lidapor Helo » 24 Ago 2016, 18:13

Mensagem não lida por Helo » 24 Ago 2016, 18:13

Ele diz que $tr(A)=0$ e $A^2+A^t=I$

Fazendo a transposição, temos:

$A=I-(A^2)^t=I-(A^t)^2=I-(I-A^2)^2=2A^2-A^4$

Ou seja:

$A^4-2A^2+A=0$

Temos um polinômio:

$x^4-2x^2+x=x(x-1)(x^2+x-1)$

As raízes são:

$0,1,\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$

Estes números são os valores de A.

E os valores próprios de $A^2$ podem ser $0,1,\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

De $tr(A)=0$ a soma dos valores é 0.

E de $tr(A^2)=tr(I-A^t)=3$

A soma dos quadrados dos valores é 3.

Com isso, é fácil perceber que essas duas condições não podem ser satisfeitas simultaneamente.

Editado pela última vez por Helo em 24 Ago 2016, 18:13, em um total de 1 vez.

Helo

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cos(5)+ + =
cos(5)+2cos(185)cos(108)+2cos(185)cos(36)=
cos(5)+2cos(5)cos(72)-2cos(5)cos(36)=
cos(5) =cos(5) =
cos(5)
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Primeira Postagem

Os comprimentos das alturas do triângulo ABC são soluções da equação cúbica x^{3} +kx²+lx+m=0.Então o raio do círculo incrito no triângulo ABC é igual a:
a) \frac{k}{m}
b) \frac{-l}{k}
c)...

Última mensagem

S = pr = b\frac{h_b}{2}
r = \frac{h_b \cdot b}{a+b+c}

fazendo a = \frac{b h_b}{h_a} e c = \frac{bh_b}{h_c}

r = \frac{h_b b}{b(1 + \frac{h_b}{h_a} + \frac{h_b}{h_c})} = \frac{h_b h_a...

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Primeira Postagem

Seja P(x) um polinômio de grau 2 tal que P(0)=\cos^{3}10° , P(1)=\cos10°\cdot \sen^210° e P(2)=0 . Então o valor de 2\sqrt{3}\cdot p(3) é igual a:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Última mensagem

Seja P(x) =ax^2+bx+c

Pela informações dadas:

\begin{cases}
c=cos^3(10) \\
a+b+cos^3(10)=cos(10) - cos^3(10) \\
4a+2b+cos^3(10)=0
\end{cases}

Ou seja:

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Primeira Postagem

Determine o número de raízess reais da equação:
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x^{1994}-x^2+1=0
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