Olimpíadas ⇒ (OBM - 2005) Proporção Tópico resolvido

[rean]

Dado que [tex3]\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}= \frac{1}{11} ,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}= \frac{1}{11} ,[/tex3]

tal que o valor de [tex3]\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}[/tex3]

é?

[Diego996]

Olá Rean,

Desenvolveremos a primeira igualdade dada pelo exercício.

• [tex3]\frac{{(a - b)(b - c)(c - a)}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}} = \frac{1}{{11}} \\
  \frac{{(ab - ac - b^2 + bc)(c - a)}}{{(ab + ac + b^2 + bc)(c + a)}} = \frac{1}{{11}} \\
  \frac{{abc - a^2 b - ac^2 + a^2 c - b^2 c + ab^2 + bc^2 - abc}}{{abc + a^2 b + ac^2 + a^2 c + b^2 c + ab^2 + bc^2 + abc}} = \frac{1}{{11}} \\
  abc + a^2 b + ac^2 + a^2 c + b^2 c + ab^2 + bc^2 + abc = 11( - a^2 b - ac^2 + a^2 c - b^2 c + ab^2 + bc^2 ) \\
  2abc + a^2 b + ac^2 + a^2 c + b^2 c + ab^2 + bc^2 = - 11a^2 b - 11ac^2 + 11a^2 c - 11b^2 c + 11ab^2 + 11bc^2 \\
  2abc + 12a^2 b + 12ac^2 - 10a^2 c + 12b^2 c - 10ab^2 - 10bc^2 = 0 \\
  abc = 5a^2 c + 5ab^2 + 5bc^2 - 6a^2 b - 6ac^2 - 6b^2 c[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\frac{{(a - b)(b - c)(c - a)}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}} = \frac{1}{{11}} \\
\frac{{(ab - ac - b^2 + bc)(c - a)}}{{(ab + ac + b^2 + bc)(c + a)}} = \frac{1}{{11}} \\
\frac{{abc - a^2 b - ac^2 + a^2 c - b^2 c + ab^2 + bc^2 - abc}}{{abc + a^2 b + ac^2 + a^2 c + b^2 c + ab^2 + bc^2 + abc}} = \frac{1}{{11}} \\
abc + a^2 b + ac^2 + a^2 c + b^2 c + ab^2 + bc^2 + abc = 11( - a^2 b - ac^2 + a^2 c - b^2 c + ab^2 + bc^2 ) \\
2abc + a^2 b + ac^2 + a^2 c + b^2 c + ab^2 + bc^2 = - 11a^2 b - 11ac^2 + 11a^2 c - 11b^2 c + 11ab^2 + 11bc^2 \\
2abc + 12a^2 b + 12ac^2 - 10a^2 c + 12b^2 c - 10ab^2 - 10bc^2 = 0 \\
abc = 5a^2 c + 5ab^2 + 5bc^2 - 6a^2 b - 6ac^2 - 6b^2 c[/tex3]

Chegamos então à relação:

• [tex3]abc = 5a^2 c + 5ab^2 + 5bc^2 - 6a^2 b - 6ac^2 - 6b^2 c\text{ }(1)[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]abc = 5a^2 c + 5ab^2 + 5bc^2 - 6a^2 b - 6ac^2 - 6b^2 c\text{ }(1)[/tex3]

Desenvolvamos agora o que o exercício pede:

• [tex3]\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}} = \\
  \frac{{a(b + c)(c + a) + b(a + b)(c + a) + c(a + b)(b + c)}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}} = \\
  = \frac{{a(bc + ab + c^2 + ac) + b(ac + a^2 + bc + ab) + c(ab + ac + b^2 + bc)}}{{(ab + ac + b^2 + bc)(c + a)}} = \\
  = \frac{{abc + a^2 b + ac^2 + a^2 c + abc + a^2 b + b^2 c + ab^2 + abc + ac^2 + b^2 c + bc^2 }}{{abc + a^2 b + ac^2 + a^2 c + + b^2 c + ab^2 + bc^2 + abc}} = \\
  = \frac{{3abc + 2a^2 b + 2ac^2 + 2b^2 c + a^2 c + ab^2 + bc^2 }}{{2abc + a^2 b + ac^2 + a^2 c + + b^2 c + ab^2 + bc^2 }} \\[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}} = \\
\frac{{a(b + c)(c + a) + b(a + b)(c + a) + c(a + b)(b + c)}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}} = \\
= \frac{{a(bc + ab + c^2 + ac) + b(ac + a^2 + bc + ab) + c(ab + ac + b^2 + bc)}}{{(ab + ac + b^2 + bc)(c + a)}} = \\
= \frac{{abc + a^2 b + ac^2 + a^2 c + abc + a^2 b + b^2 c + ab^2 + abc + ac^2 + b^2 c + bc^2 }}{{abc + a^2 b + ac^2 + a^2 c + + b^2 c + ab^2 + bc^2 + abc}} = \\
= \frac{{3abc + 2a^2 b + 2ac^2 + 2b^2 c + a^2 c + ab^2 + bc^2 }}{{2abc + a^2 b + ac^2 + a^2 c + + b^2 c + ab^2 + bc^2 }} \\[/tex3]

Substituindo [tex3](1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1)[/tex3]

na expressão encontrada:

• [tex3]\frac{{3abc + 2a^2 b + 2ac^2 + 2b^2 c + a^2 c + ab^2 + bc^2 }}{{2abc + a^2 b + ac^2 + a^2 c + b^2 c + ab^2 + bc^2 }} = \\
  = \frac{{3(5a^2 c + 5ab^2 + 5bc^2 - 6a^2 b - 6ac^2 - 6b^2 c) + 2a^2 b + 2ac^2 + 2b^2 c + a^2 c + ab^2 + bc^2 }}{{2(5a^2 c + 5ab^2 + 5bc^2 - 6a^2 b - 6ac^2 - 6b^2 c) + a^2 b + ac^2 + a^2 c + b^2 c + ab^2 + bc^2 }} = \\
  = \frac{{16a^2 c + 16ab^2 + 16bc^2 - 16a^2 b - 16ac^2 - 16b^2 c}}{{11a^2 c + 11ab^2 + 11bc^2 - 11a^2 b - 11ac^2 - 11b^2 c}} = \\
  = \frac{{16(a^2 c + ab^2 + bc^2 - a^2 b - ac^2 - b^2 c)}}{{11(a^2 c + ab^2 + bc^2 - a^2 b - ac^2 - b^2 c)}} = \frac{{16}}{{11}} \\[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\frac{{3abc + 2a^2 b + 2ac^2 + 2b^2 c + a^2 c + ab^2 + bc^2 }}{{2abc + a^2 b + ac^2 + a^2 c + b^2 c + ab^2 + bc^2 }} = \\
= \frac{{3(5a^2 c + 5ab^2 + 5bc^2 - 6a^2 b - 6ac^2 - 6b^2 c) + 2a^2 b + 2ac^2 + 2b^2 c + a^2 c + ab^2 + bc^2 }}{{2(5a^2 c + 5ab^2 + 5bc^2 - 6a^2 b - 6ac^2 - 6b^2 c) + a^2 b + ac^2 + a^2 c + b^2 c + ab^2 + bc^2 }} = \\
= \frac{{16a^2 c + 16ab^2 + 16bc^2 - 16a^2 b - 16ac^2 - 16b^2 c}}{{11a^2 c + 11ab^2 + 11bc^2 - 11a^2 b - 11ac^2 - 11b^2 c}} = \\
= \frac{{16(a^2 c + ab^2 + bc^2 - a^2 b - ac^2 - b^2 c)}}{{11(a^2 c + ab^2 + bc^2 - a^2 b - ac^2 - b^2 c)}} = \frac{{16}}{{11}} \\[/tex3]

Portanto,

• [tex3]\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}} = \frac{{16}}{{11}}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}} = \frac{{16}}{{11}}[/tex3]

[triplebig]

Diego, você não existe.

Gastei uma hora nesse problema e não cheguei a lugar nenhum.

Parabéns.

[Diego996]

Obrigado, Triplebig. Estou à disposição.

[Jpbbotelho]

Faça c=0
A expressão dada fica [tex3]\frac{(a-b)(b-0)(0-a)}{(a+b)(b+0)(0+a)} = \frac{b-a}{b+a} = \frac{1}{11}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(a-b)(b-0)(0-a)}{(a+b)(b+0)(0+a)} = \frac{b-a}{b+a} = \frac{1}{11}[/tex3]

Daí, b=6 e a=5
A expressão desejada vale [tex3]\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+0} + \frac{0}{0+a} = \frac{5}{5+6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+0} + \frac{0}{0+a} = \frac{5}{5+6}[/tex3]

+1+0=[tex3]\frac{5}{11}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5}{11}[/tex3]

+1=[tex3]\frac{16}{11}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{16}{11}[/tex3]