Olimpíadas ⇒ Série harmônica e divisibilidade Tópico resolvido

[DudaS]

Seja “a” um inteiro positivo tal que
1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/25 = a/25! .
Encontre o resto de “a” na divisão por 13.

a) 1
b) 2
c) 3
d) 7
e) 12

[FelipeMartin]

[tex3]25! = 13 \cdot n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]25! = 13 \cdot n[/tex3]

pra algum [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

natural.
Então, todo elemento fracional da soma à esquerda vai virar um múltiplo de 13, exceto o termo [tex3]\frac1{13}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac1{13}[/tex3]

, que vai virar [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

.

Queremos então [tex3]n \mod 13 = (25 \cdot 24 \cdot... \cdot 14 \cdot 12 \cdot... \cdot 1) \mod 13 \equiv (-1 \cdot -2 \cdot ... \cdot -12 \cdot 12 \cdot ... \cdot 1) \mod 13 \equiv \\ \equiv ((12!) \mod 13)^2 \equiv (6!)^4 \mod 13 = (720)^4 \mod 13 \equiv 5^4 \mod 13 \equiv 1 \mod 13 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n \mod 13 = (25 \cdot 24 \cdot... \cdot 14 \cdot 12 \cdot... \cdot 1) \mod 13 \equiv (-1 \cdot -2 \cdot ... \cdot -12 \cdot 12 \cdot ... \cdot 1) \mod 13 \equiv \\ \equiv ((12!) \mod 13)^2 \equiv (6!)^4 \mod 13 = (720)^4 \mod 13 \equiv 5^4 \mod 13 \equiv 1 \mod 13 [/tex3]

letra A

[DudaS]

Boa noite! Poderia me explicar por que ficou (-1. -2…..-12.12…..1)?
Obrigada pela ajuda.

[FelipeMartin]

DudaS, propriedades do módulo