Olimpíadas ⇒ Iniciação a Aritmética - Questão 1.5 Tópico resolvido

[Francis113]

Usando a propriedade de compatibilidade da adição com a ordem e a transitividade da ordem, mostre que:
Se a < b e c < d, então a + c < b + d.
Vale a recíproca dessa propriedade?

Sugestão: Usando a compatibilidade da adição com a ordem, some c
a ambos os lados da primeira desigualdade, some b a ambos os lados da
segunda desigualdade. Finalmente, compare as novas desigualdades
assim obtidas.

Pelo o que eu entendi não vale porque seria:
se a + c < b + d entao a < b e c < d
Mas não necessariamente seria assim, supondo que a = 5, b = 3, c = 2, d = 6
se 5 + 2 < 3 + 6 entao 5 < 3 e 2 < 6, o que está errado por causa do 5 < 3

Queria saber se estou certo nesse meu raciocínio e como seria fazer usando a sugestão, que não entendi, também gostaria de saber o que seriam os conceitos de "ida e volta" que vi em outro tópico que parecem estar relacionadas a reciprocidade. Desde já agradeço.

[petras]

Francis113,

[tex3] a+c < \underbrace{b+c}(I)\\
\underbrace{b+c} < b+d(II)\\
De (I)e (II):a+c < b+c < b+d \therefore \boxed{a+c < b+d} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] a+c < \underbrace{b+c}(I)\\
\underbrace{b+c} < b+d(II)\\
De (I)e (II):a+c < b+c < b+d \therefore \boxed{a+c < b+d} [/tex3]

[Francis113]

Francis113,

[tex3] a+c < \underbrace{b+c}(I)\\
\underbrace{b+c} < b+d(II)\\
De (I)e (II):a+b < b+c < b+d \therefore \boxed{a+c < b+d} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] a+c < \underbrace{b+c}(I)\\
\underbrace{b+c} < b+d(II)\\
De (I)e (II):a+b < b+c < b+d \therefore \boxed{a+c < b+d} [/tex3]

Com isso chega-se em qual conclusão?

[LucasDN684]

Com isso chega-se em qual conclusão?

Petras provou o primeiro comando da questão da maneira que ela sugeriu e, por silogismo, chegou à conclusão correta.

Queria saber se estou certo nesse meu raciocínio

Sim, pois a < b e c < d é condição suficiente para a + c < b + d, para todos os valores das variáveis. Entretanto, como a recíproca não vale para todos os valores, então a volta não é necessariamente verdadeira. Para que valesse tanto a ida quanto a volta, deveríamos restringir seus possíveis valores de modo que a + c < b + d para qualquer a, b, c, e d tal que a < b e c < d, algo que caso não seja satisfeito, invalidará a recíproca, conclusão esta que você também chegou em seu raciocínio.

também gostaria de saber o que seriam os conceitos de "ida e volta" que vi em outro tópico que parecem estar relacionadas a reciprocidade.

Os conceitos de ida e volta remetem à implicação de uma proposição em outras; nesse caso, implicar remete à conclusão logicamente verdadeira, tal qual Petras discorreu a partir das premissas. Logo, valeu a ida (a hipótese implica, necessariamente, na tese), mas não valeu a volta (a tese não implica, necessariamente, na hipótese).

Exemplos mais simples seriam:

Vale a ida e a volta, e denotamos isso por ⇔, por exemplo:

[tex3]2x+1=0\Leftrightarrow 2x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x+1=0\Leftrightarrow 2x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}[/tex3]

Mas não vale a ida e a volta quando, e denotamos por ⇒, por exemplo:

[tex3]x=1\Rightarrow x^{2}=1 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=1\Rightarrow x^{2}=1 [/tex3]

Dado que x=-1 também é uma possível resposta. No caso, se desejássemos que valesse tanto a ida quanto a volta, teríamos:

[tex3]x=1\, \, \, ou\, \, \, x=-1 \Leftrightarrow x^{2}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=1\, \, \, ou\, \, \, x=-1 \Leftrightarrow x^{2}=1[/tex3]

E para o exercício em questão:

[tex3]a< b\, \, \, e\, \, \, c< d\Rightarrow a+c< b+d[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a< b\, \, \, e\, \, \, c< d\Rightarrow a+c< b+d[/tex3]

ou, restringindo os possíveis valores das incógnitas:

[tex3]a< b\, \, \, e\, \, \, c< d\Leftrightarrow a+c< b+d\, \, \, e \left ( \, \, \, a< b\, \, \, e\, \, \, c< d \right )[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a< b\, \, \, e\, \, \, c< d\Leftrightarrow a+c< b+d\, \, \, e \left ( \, \, \, a< b\, \, \, e\, \, \, c< d \right )[/tex3]

Essas são apenas algumas noções de lógica e, a nível de ensino médio, recomendo o volume 1 do Fundamentos de Matemática Elementar e, caso você queira se aprofundar um pouquinho mais, assista esse vídeo. Julgo desnecessário ir além disso; com esse pouco que aprendi já me sinto seguro para argumentar demonstrações.

[leozitz]

a < b e c < d é condição necessária

não é necessária
1 < 100 e 2 > 1 e 1 + 2 < 100 + 1

alem disso se n me engano caso vc tenha uma condição suficiente e necessaria vc tem um relação de se e somente se, ou seja, vale a ida e a volta, n lembro se isso é de fato verdade mas é uma boa olhar isso em um caso especifico e testar

[LucasDN684]

não é necessária
1 < 100 e 2 > 1 e 1 + 2 < 100 + 1

Revisei meu post e concluí que você está certo. De fato, numa relação de implicação o antecedente é condição suficiente e o consequente é a condição necessária. Muito obrigado pelo esclarecimento. Por isso, corrigirei meu post para evitar qualquer mal-entendido.

alem disso se n me engano caso vc tenha uma condição suficiente e necessária vc tem um relação de se e somente se, ou seja, vale a ida e a volta, n lembro se isso é de fato verdade mas é uma boa olhar isso em um caso especifico e testar

Exato, é apenas numa relação de equivalência que tanto o antecedente quanto o consequente são condições necessárias e suficientes.

[FelipeMartin]

Francis113,

[tex3] a+c < \underbrace{b+c}(I)\\
\underbrace{b+c} < b+d(II)\\
De (I)e (II):a+b < b+c < b+d \therefore \boxed{a+c < b+d} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] a+c < \underbrace{b+c}(I)\\
\underbrace{b+c} < b+d(II)\\
De (I)e (II):a+b < b+c < b+d \therefore \boxed{a+c < b+d} [/tex3]

tem um pequeno erro na última linha, o correto é [tex3]a+c < b+c < b+d[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+c < b+c < b+d[/tex3]

[petras]

FelipeMartin,

Corrigido,grato pelo alerta

[Francis113]

Agradeço a todos pela ajuda!

caso você queira se aprofundar um pouquinho mais, assista esse vídeo.

Obrigado Lucas, irei ver. Estou no primeiro e comecei o assunto de conjuntos esse ano. Não sei se fazer um pequeno aprofundamento nisso vai ser útil para meu objetivo, que é a OBMEP, mas ainda assim estou interessado pelo tema.

[LucasDN684]

Não sei se fazer um pequeno aprofundamento nisso vai ser útil para meu objetivo

Acredito que essa dose seja satisfatória porque já lhe torna apto a fazer demonstrações e argumentar em provas discursivas com um maior rigor matemático. Apesar de ser um assunto relativamente curto a nível de ensino médio, me permitiu observar a matemática de outra maneira e me fez gostar dela. Apesar disso, por estar no primeiro ano do ensino médio, seja criterioso no que lhe aparecer e mantenha um único foco, preferencialmente.

No mais, eu lhe desejo sucesso no seu objetivo. Boa sorte!