[tex3]D[/tex3]
[tex3]I_1,I_2[/tex3]
são incentros dos triângulos [tex3]ABD[/tex3]
e [tex3]ACD[/tex3]
[tex3]X[/tex3]
é a intersecção do cicuncírculo de [tex3]ABC[/tex3]
com o círculo que passa por [tex3]I_1,I_2[/tex3]
e [tex3]A[/tex3]
Prove que [tex3]X[/tex3]
é ponto médio do arco [tex3]BC[/tex3]
é ponto médio de [tex3]BC[/tex3]
Olimpíadas ⇒ Triângulos e Círculos secantes Tópico resolvido
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Jan 2022
28
19:20
Re: Triângulos e Círculos secantes
É praticamente o problema do Hanon que eu resolvi esses dias viewtopic.php?t=86248
a solução é análoga, construa [tex3]S[/tex3] e [tex3]T[/tex3] de maneira semelhante a que eu construí.
a solução é análoga, construa [tex3]S[/tex3] e [tex3]T[/tex3] de maneira semelhante a que eu construí.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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Fev 2022
03
07:08
Re: Triângulos e Círculos secantes
A minha solução acima funciona, mas aqui vai outra:
Seja [tex3]I_3[/tex3] o reflexo de [tex3]I_2[/tex3] em relação a [tex3]DX[/tex3] . Então [tex3]I_3[/tex3] é o conjugado isogonal de [tex3]I_1[/tex3] no [tex3]\triangle BDX[/tex3] , ou seja, [tex3]\angle I_3DX = I_1DB[/tex3] e [tex3]\angle I_3BD = \angle I_1BX[/tex3] . Prova:
[tex3]\angle I_3DX = \angle I_2DX = 90^{\circ} - \angle I_1DX = \angle I_1DB[/tex3] ,
e [tex3]\angle I_3BD = \angle I_2CD = \frac12 \angle ACB = \angle I_1BX[/tex3] . Pronto.
Com isso:
[tex3]\angle I_2XI_1 = \angle I_2XD+\angle DXI_1 = \angle I_3XD+\angle DXI_1=\angle I_1XB+\angle DXI_1=\angle DXB=\frac{1}{2}\angle BAC=\angle I_2AI_1[/tex3]
Então [tex3]I_1I_2AX[/tex3] é cíclico.
Seja [tex3]I_3[/tex3] o reflexo de [tex3]I_2[/tex3] em relação a [tex3]DX[/tex3] . Então [tex3]I_3[/tex3] é o conjugado isogonal de [tex3]I_1[/tex3] no [tex3]\triangle BDX[/tex3] , ou seja, [tex3]\angle I_3DX = I_1DB[/tex3] e [tex3]\angle I_3BD = \angle I_1BX[/tex3] . Prova:
[tex3]\angle I_3DX = \angle I_2DX = 90^{\circ} - \angle I_1DX = \angle I_1DB[/tex3] ,
e [tex3]\angle I_3BD = \angle I_2CD = \frac12 \angle ACB = \angle I_1BX[/tex3] . Pronto.
Com isso:
[tex3]\angle I_2XI_1 = \angle I_2XD+\angle DXI_1 = \angle I_3XD+\angle DXI_1=\angle I_1XB+\angle DXI_1=\angle DXB=\frac{1}{2}\angle BAC=\angle I_2AI_1[/tex3]
Então [tex3]I_1I_2AX[/tex3] é cíclico.
Editado pela última vez por FelipeMartin em 03 Fev 2022, 08:26, em um total de 2 vezes.
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