Olimpíadas

Mensagempor **Jpgonçalves** » 26 Abr 2023, 19:25 · Mensagem por **Jpgonçalves** » 26 Abr 2023, 19:25

Generalize o Teorema de Chasles para n pontos distintos numa reta orientada, ou seja:
[tex3]\overline{x_{1}.x_{2}} + \overline{x_{2}.x_{3}} + \overline{x_{3}.x_{4}} + ... + \overline{x_{n-2}.x_{n-1}} + \overline{x_{n-1}.x_{n}} + \overline{x_{n}.x_{1}} = 0[/tex3]

Mensagempor **FelipeMartin** » 26 Abr 2023, 20:00 · Mensagem por **FelipeMartin** » 26 Abr 2023, 20:00

vamos fazer por indução:

para [tex3]n=2[/tex3] temos:

[tex3]x_1x_2 + x_2x_1=0[/tex3] ok

suponha válido para um [tex3]n \geq 2[/tex3] qualquer:

[tex3]x_nx_1 + \sum_{i=1}^{n-1} x_ix_{i+1} = 0[/tex3]

adicione o ponto [tex3]x_{n+1}[/tex3] de forma a preservar o sentido da configuração.

[tex3]0 = x_nx_1 + \sum_{i=1}^{n-1} x_ix_{i+1} = x_nx_1 + \sum_{i=1}^{n-1} x_ix_{i+1} + (x_nx_{n+1} + x_{n+1}x_n) = (x_nx_1+x_{n+1}x_n) + \sum_{i=1}^{n} x_ix_{i+1} [/tex3]

então, basta provar que [tex3]x_{n+1}x_1 = x_nx_1 + x_{n+1}x_n[/tex3]

vamos atribuir ao ponto [tex3]x_1[/tex3] a coordenada [tex3]0[/tex3] e ao ponto [tex3]x_n[/tex3] a coordenada [tex3]X_n[/tex3] , adotando [tex3]X_n > 0 [/tex3] para [tex3]n >1[/tex3] :

[tex3]-X_{n+1} = - X_n + (X_n-X_{n+1})[/tex3] o que é verdade. C.q.d.

Mensagempor **Jpgonçalves** » 05 Mai 2023, 14:14 · Mensagem por **Jpgonçalves** » 05 Mai 2023, 14:14

Muito obrigado, @FelipeMartin!

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