IME / ITA ⇒ (Simulado-Ime/Ita) Equação

[AngelitaB]

Se x1, x2 e x3 raízes da equação 2x³+ax²-ax+3=0, determine o valor real de (1-x1)(1-x2)(1-x3).
a)3
b)-2
c)-3
d)[tex3]\frac{5}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5}{2}[/tex3]

e)5

Resposta

---

d

[Daleth]

Desenvolvendo [tex3](1-x1)(1-x2)(1-x3)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1-x1)(1-x2)(1-x3)[/tex3]

, temos:

[tex3]1-x1-x2-x3+x1.x2+x1.x3+x2.x3-x1.x2.x3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1-x1-x2-x3+x1.x2+x1.x3+x2.x3-x1.x2.x3[/tex3]

[tex3]1-(x1+x2+x3)+(x1.x2+x1.x3+x2.x3)-x1.x2.x3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1-(x1+x2+x3)+(x1.x2+x1.x3+x2.x3)-x1.x2.x3[/tex3]

Por Girard:

[tex3]x1+x2+x3=\frac{-a}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x1+x2+x3=\frac{-a}{2}[/tex3]

[tex3]x1.x2+x1.x3+x2.x3=\frac{-a}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x1.x2+x1.x3+x2.x3=\frac{-a}{2}[/tex3]

[tex3]x1.x2.x3=\frac{-3}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x1.x2.x3=\frac{-3}{2}[/tex3]

Substituindo:

[tex3]1-(\frac{-a}{2})+(\frac{-a}{2})-(\frac{-3}{2})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1-(\frac{-a}{2})+(\frac{-a}{2})-(\frac{-3}{2})[/tex3]

[tex3]1+\frac{a}{2}-\frac{a}{2}+(\frac{3}{2})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1+\frac{a}{2}-\frac{a}{2}+(\frac{3}{2})[/tex3]

[tex3]1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}[/tex3]

[CUNTO]

Uma solução alternativa.

P(x) = 2x³ + ax² + ax + 3 = 0
Sabe-se que o polinômio pode ser reescrito da seguinte forma:
P(x) = a₀(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)
Fica fácil ver que P(1) é o resultado pedido:
P(1) = 2](1-x₁)(1-x₂)(1-x₃)
(1-x1)(1-x2)(1-x3)= P(1)/2 = 5/2
Letra D.